Tangentengleichung an Parabel

Question

Aufgabe:

f(x)= x²-9x+13    g:3x-5y=7

Bestimme alle Tangentengleichungen der Funktion f, die parallel zu g sind

Comments

Hallo,

Falls Du Deine Lehrkraft mal mit einer abgefahrenen Lösung überraschen möchtest, so empfehle ich folgendes Vorgehen:

Bestimme aus der Scheitelpunktform$$f(x)=\left(x -\frac92\right)^2 {\color{blue}-\frac{29}{4}}$$den Brennpunkt \(F\) der Parabel$$y_f={\color{blue}-\frac{29}{4}} +\frac 14 = -7\implies F=\left(\frac{9}{2},\, -7\right)$$und berechne dann den Schnittpunkt der Orthogonalen \(o\) der Tangente durch \(F\) mit der Scheitellinie \(y_s={\color{blue}-29/4}\):$$o:\quad x= \begin{pmatrix} 9/2\\-7 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3\\-5 \end{pmatrix} \\ \implies t_s = \frac{{\color{blue}-\frac{29}{4}}+7}{-5} = \frac{1}{20} \\ \implies o_x\left(t_s\right)=\frac{9}{2} + \frac{1}{20}\cdot 3 = {\color{red}\frac{93}{20}} $$und setze das in die Koordinatenform der Tangente ein:$$t: \quad\begin{pmatrix} 3\\-5 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 3\\-5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\color{red}93/20}\\{\color{blue}-29/4} \end{pmatrix}=\frac{279}{20}+\frac{145}{4}=\frac{279+725}{20}=\frac{1004}{20} =\frac{251}{5}\\ \quad 3x-5y=\frac{251}{5} \implies 15x-25y=251$$

https://www.desmos.com/calculator/1kvbzbd7ov

;-) Werner

Answer 1

:f ( x ) = x^2 -9x +13   

g (x ) = :3x - 5y =7
5y = 3x - 7
h ( x ) = ( 3x - 7) / 5

f ´ ( x ) = 2x - 9
h ´ ( x ) = 3 /5

Steigung gleich
f ´( x ) = g ´( x )

2x - 9 = 3 / 5
x = 24 / 5

h´ = 3/5

f ( 24/5) = - 179 / 25

Tangente
y = m * x + b
-179 / 25 = h ´ * 24/5 + b
b = 251 / 25

t ( x ) = 3/5 * x - 251/25

Es gibt nur eine Tangente.

Answer 2

g:3x-5y=7   ==>  y= 0,6x - 1,4

==>  Steigung von g ist m=0,6.

f(x)= x²-9x+13  ==>   f ' (x) = 2x - 9 

Damit eine Tangente an den Graphen von f parallel

zu g ist, muss sie auch die Steigung 0,6 haben.

==>                0,6 = 2x - 9   ==>  x=4,8

Also ist nur am Punkt P mit x=4,8 die Tang. parallel zu g.

Der Punkt ist ( 4,8 ; -7,16 ) .

Ansatz Tangentengleichung y= m*x+n

x,y,m einsetzen

           -7,16 = 0,6 * 4,8 + n ==>  n= -10,04

Also  t : y = 0,6x - 10,04

Sieht so aus : ~plot~  x^2-9x+13    ;  0,6x - 1,4; 0,6x - 10,04 ;[[-10|10|-10|10]]~plot~

Answer 3

Weg ohne Ableitung:

f(x)=\( x^{2} \)-9x+13         3x-5y=7      g(x)=0,6x-1,4

Nun hat h(x)=  0,6x  die gleiche Steigung wie g(x)

h(x)=f(x)

\( x^{2} \)-9x+13=0,6x

\( x^{2} \)-9,6x=-13

(x-\( \frac{9,6}{2} \) )^2=-13+(\( \frac{9,6}{2} \)) ^2=10,04 |\( \sqrt{} \)

1.) x-4,8=\( \sqrt{10,04 } \)

x₁=4,8+\( \sqrt{10,04 } \)

2.) x-4,8=-\( \sqrt{10,04 } \)

x₂=4,8-\( \sqrt{10,04 } \)

Berührpunkt ist nun B(4,8| f(4,8)

Nun die Tangente mittels der Punktsteigungsform der Geraden aufstellen.

Answer 4

3x-5y=7     y=3/5x-7/5

f'(x)=2x-9

2x-9=3/5    x=24/5

f(24/5)= - 179/25

Tangentengleichung (z.B. mit Punkt-Steigungs-Form)

y=3/5x - 251/25

Answer 5

g(x):

3x-5y=7

y= (3x-7)/5 = 3/5*x - 7/5

Die Gerade hat die Steigung 3/5 = 0,6

Alle Tangenten müssen dieselbe Steigung haben.

f'(x) = 0,6

2x-9 = 0,6

x= 4,8

f(4,8) = -7,16

t(x) = m*x+b = 0,6*x+b

-7,16= 0,6*4,8+b

b= -10,04

t(x)= 0,6x-10,04

Es gibt nur eine Tangente an der Stelle x= 4,8