die Gleichung umformen

Question

Aufgabe:

Berechne nun den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|: \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \)
Nutze: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x} \)
\( \begin{array}{l} =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\ =\frac{1}{e} \cdot 1<1 \checkmark \end{array} \)

Problem/Ansatz:

ich habe nicht verstanden wir haben sie es umgeformt, also mit lim (1/(1+(1/n))^n+1)

Answer 1

Aloha :)

Es ist\(\left(1\colon\!\frac{n+1}{n}\right)=\frac{n}{n+1}\), denn die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert.$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac nn+\frac1n}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+\frac1n}\right)^{n+1}$$

Nun wurden die Potenzgesetze ausgenutzt, konkret \(\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}\)$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\right)$$

Nun wurden die Grenzwertsätze ausgenutzt. Diese besagen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen ebenfalls konvergieren und zwar gegen Summe, Differenz, Produkt und Quotient der Grenzwerte:$$=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(1)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(1)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\,\left(1+\frac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac1n\right)\,\right)}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)}$$Schließlich wurden der Tipp verwendet und die Grenzwerte eingetragen:$$=\frac{1}{e\cdot1}=\frac1e$$

Answer 2

Den Bruch n/(n+1) mit 1/n erweitern.

Answer 3

n/(n+1)= (n+1-1)/(n+1) = 1-1/(n+1)

lim (1-1/(n+1))^(n+1) = e^(-1)