Zeigen Sie, dass (u1 ,..., un , v1 ,..., vm ) ∈ Wn+m eine geordnete Basis von U ⊕ V ist.

Question

Aufgabe:

Seien U und V zwei (voneinander) unabhängige Unterräume eines K-Verktorraums W, und seien (u₁ , ..., u_n ) ∈ Uⁿ   und (v₁ ,..., v_m )  ∈ V^m geordnete Basen von U bzw. V. Zeigen Sie, dass (u₁ ,..., u_n , v₁ ,..., v_m ) ∈ W^n+m eine geordnete Basis von U ⊕ V ist.

Könnten Sie es bitte vorrechnen, damit ich es verstehe, wie es genau geht?

Comments

Ich brauche unbedingt eure Hilfe :(

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Nicht einfach oder?!

Answer 1

Nicht einfach oder?!

Sag selber:
Zunächst ist \((u_1, \ldots u_n,v_1,\ldots v_m)\) ein Erezugendensystem für \(U+V\). Denn es ist \(x \in U+V\) genau dann, wenn es \(u \in U, v\in V\) gibt mit \(x=u+v\). Aufgrund der Basis-Eigenschaften für U und V gilt damit
$$x=u+v=\sum_{i=1}^ns_iu_i+\sum_{k=1}^m t_k v_k$$
mit Koeffizienten \(s_i,t_k \in K\).
Bleibt noch zu zeigen, dass \((u_1, \ldots u_n,v_1,\ldots v_m)\) linear unabhängig ist: Wenn eine Linearkombination aus diesen Elementen 0 ergibt, also
$$0=\sum_{i=1}^ns_iu_i+\sum_{k=1}^m t_k v_k \Rightarrow \sum_{i=1}^ns_iu_i=-\sum_{k=1}^m t_k v_k$$
In dieser Gleichung liegt die linke Summe in U, die rechte in V. Wegen der Gleichheit liegen beide in \(U \cap V\). Aufgrund der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Unterräume (alsoo \(U \oplus V\) statt "nur" \(U + V\)) liegt in diesem Durchschnitt nur der 0-Vektor. Wir haben also
$$0=\sum_{i=1}^ns_iu_i$$Weil die \(u_i\) eine Basis von U bilden, folgt, dass alle \(s_i=0\) sind. Analog für die \(t_i\).
Gruß Mathhilf

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Vielen Dank, das war sehr nett Mathhilf.