Berechne die Reihe...

Question

Aufgabe:

S = 1 + \( \frac{1}{2} \)*\( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} \) + \( \frac{1}{3} \)*\( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \) + \( \frac{1}{4} \)*\( \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} \) + ... + \( \frac{1}{n} \)*\( \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} \) + \( \frac{1}{n+1} \)*\( \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

\( \sum\limits_{p=0}^{n}{\frac{1}{(p+1)}*\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}} \)

\( \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix} \) ersetze ich durch \( \frac{(p+1)}{(n+1)} \)*\( \begin{pmatrix} n+1\\p+1 \end{pmatrix} \)

= \( \sum\limits_{p=0}^{n}{\frac{1}{(p+1)}*\frac{(p+1)}{(n+1)}*\begin{pmatrix} n+1\\p+1 \end{pmatrix}} \)

= \( \frac{1}{(n+1)} \) * \( \sum\limits_{p=0}^{n}{\begin{pmatrix} n+1\\p+1 \end{pmatrix}} \)

Bin ich auf dem richtigen Weg? Was soll ich mit \( \begin{pmatrix} n+1\\p+1 \end{pmatrix} \) machen?

(Am besten nicht direkt die Antwort, sondern gerne eine kleine Hilfestellung)

Answer 1

Die Summe ALLER Binomialkoeffizienten eine Zeile ist eine Zweierpotenz.

You know?

In \( \sum\limits_{p=0}^{n}{\begin{pmatrix} n+1\\p+1 \end{pmatrix}} \) fehlt davon lediglich der erste Summand \( \begin{pmatrix} n+1\\0 \end{pmatrix}\)

Comments

Diesen Summand müsste ich dann also irgendwie noch "hinbekommen.

\( \sum\limits_{p=0}^{n-1}{\begin{pmatrix} n+1\\p \end{pmatrix}} \). So?

Edit: Obwohl kann ich nicht einfach den Wert des fehlenden ersten Summanden dann von 2^(n+1) abziehen?

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Obwohl kann ich nicht einfach den Wert des fehlenden ersten Summanden dann von 2^(n+1) abziehen?

Das ist eine gute Idee.

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Ich müsste also 2⁰ abziehen:

\( \frac{1}{(n+1)} \) * 2ⁿ⁺¹ - 2⁰

= \( \frac{1}{(n+1)} \) * 2n+1 - 1