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Aufgabe:

Sei P(t)=(t2+t+1,t2−t), 0≤t≤1, eine Kurve.

Warum kann P(t) keine Bézierkurve vom Grad n=2 sein?

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hm,

vielleicht weil die Bernstein Polynome die Form

\(  \left\{ \left(-t + 1 \right)^{2}, 2 \; t \; \left(-t + 1 \right), t^{2} \right\} \)

sollten?

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Vielen vielen dank

vielleicht weil die Bernstein Polynome die Form\(  \left\{ \left(-t + 1 \right)^{2}, 2 \; t \; \left(-t + 1 \right), t^{2} \right\} \) haben sollten?

Ja sicher. Und eine Bezierkurve ist eine Kurve, die sich aus den Bernstein-Polynomen zusammen setzt. Und genau dies ist hier der Fall!

@wächter, namism: Warum soll das also keine Bezierkurve sein??

@wächter, namism: Hallo ... könnte sich bitte jemand zu meiner Frage melden!

Meine Antwort ist veruglückt. Ich hab wohl beim Einkopieren des Latex Teile meines Textes überschrieben - die Aufgabe hab ich nicht gerechnet und nur einen Hinweis gegeben auf Bernsteinpolynome für die sich Stützpunkte finden lassen sollten.

Offensichtlich kam, inzwischen Gast, damit zurecht...

... nur einen Hinweis gegeben ...

Ja ... und was heißt das jetzt? Kann die Kurve P(t)=(t2+t+1,t2−t), 0≤t≤1 nun ein Bezierpolynom sein oder nicht? Und wenn nein, warum nicht?

Offensichtlich kam, inzwischen Gast, damit zurecht...

und wie kam er damit zurecht?

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Hallo,

Sei \(P(t)=(t^2+t+1,\,t^2−t),\space 0≤t≤1\), eine Kurve.
Warum kann P(t) keine Bézierkurve vom Grad n=2 sein?

die allgemeine Form für eine Bezierkurve im 2-dimensionalen vom Grad \(n=2\) hat die Form$$p(t)=\sum\limits_{i=0}^{2}{2\choose i}t^i(1-t)^{2-i} b_i \quad\quad b_i \in \mathbb R^2 \\ \phantom{x(t)}= (1-t)^2b_0 + 2t(1-t)b_1+t^2b_2$$Nun setze ich$$b_0=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \quad b_1=\begin{pmatrix} 3/2\\-1/2 \end{pmatrix}, \quad b_2=\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}$$und erhalte$$p(t)=(1-t)^2\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + 2t(1-t)\begin{pmatrix} 3/2\\-1/2 \end{pmatrix} + t^2\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} \\\phantom{p(t)}= \begin{pmatrix} 1-2t+t^2+3t-3t^2+3t^2\\-t+t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2+t+1\\t^2-t \end{pmatrix}$$also ist die oben angegebene Kurve eine Bezierkurve.


Gruß Werner

Avatar von 48 k

ich hatte beim Polynom der zweiten Koordinate zunächst \((t^2-1)\) statt \((t^2-{\color{red}t})\) gelesen und habe meine Antwort daher noch mal überarbeitet.

An der grundsätzlichen Aussage ändert das aber nichts.

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