Warum kann P(t) keine Bézierkurve vom Grad n=2 sein?

Question

Aufgabe:

Sei P(t)=(t2+t+1,t2−t), 0≤t≤1, eine Kurve.

Warum kann P(t) keine Bézierkurve vom Grad n=2 sein?

Answer 1

hm,

vielleicht weil die Bernstein Polynome die Form

\(  \left\{ \left(-t + 1 \right)^{2}, 2 \; t \; \left(-t + 1 \right), t^{2} \right\} \)

sollten?

Comments

Vielen vielen dank

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vielleicht weil die Bernstein Polynome die Form\(  \left\{ \left(-t + 1 \right)^{2}, 2 \; t \; \left(-t + 1 \right), t^{2} \right\} \) haben sollten?

Ja sicher. Und eine Bezierkurve ist eine Kurve, die sich aus den Bernstein-Polynomen zusammen setzt. Und genau dies ist hier der Fall!

@wächter, namism: Warum soll das also keine Bezierkurve sein??

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@wächter, namism: Hallo ... könnte sich bitte jemand zu meiner Frage melden!

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Meine Antwort ist veruglückt. Ich hab wohl beim Einkopieren des Latex Teile meines Textes überschrieben - die Aufgabe hab ich nicht gerechnet und nur einen Hinweis gegeben auf Bernsteinpolynome für die sich Stützpunkte finden lassen sollten.

Offensichtlich kam, inzwischen Gast, damit zurecht...

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... nur einen Hinweis gegeben ...

Ja ... und was heißt das jetzt? Kann die Kurve P(t)=(t²+t+1,t²−t), 0≤t≤1 nun ein Bezierpolynom sein oder nicht? Und wenn nein, warum nicht?

Offensichtlich kam, inzwischen Gast, damit zurecht...

und wie kam er damit zurecht?

Answer 2

Hallo,

Sei \(P(t)=(t^2+t+1,\,t^2−t),\space 0≤t≤1\), eine Kurve.
Warum kann P(t) keine Bézierkurve vom Grad n=2 sein?

die allgemeine Form für eine Bezierkurve im 2-dimensionalen vom Grad \(n=2\) hat die Form$$p(t)=\sum\limits_{i=0}^{2}{2\choose i}t^i(1-t)^{2-i} b_i \quad\quad b_i \in \mathbb R^2 \\ \phantom{x(t)}= (1-t)^2b_0 + 2t(1-t)b_1+t^2b_2$$Nun setze ich$$b_0=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \quad b_1=\begin{pmatrix} 3/2\\-1/2 \end{pmatrix}, \quad b_2=\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}$$und erhalte$$p(t)=(1-t)^2\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + 2t(1-t)\begin{pmatrix} 3/2\\-1/2 \end{pmatrix} + t^2\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} \\\phantom{p(t)}= \begin{pmatrix} 1-2t+t^2+3t-3t^2+3t^2\\-t+t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2+t+1\\t^2-t \end{pmatrix}$$also ist die oben angegebene Kurve eine Bezierkurve.

https://www.desmos.com/calculator/cyhez90wut

Gruß Werner

Comments

ich hatte beim Polynom der zweiten Koordinate zunächst \((t^2-1)\) statt \((t^2-{\color{red}t})\) gelesen und habe meine Antwort daher noch mal überarbeitet.

An der grundsätzlichen Aussage ändert das aber nichts.