Maximum bestimmen durch Ableitung

Question

Ich habe die Gleichung x=2*\( \sqrt{(h0-h2)*h2} \) .  x soll maximal werden und dafür muss ja \( \frac{dx}{dh2} \) = 0

sein, ich weiß aber leider nicht mehr genau wie man das nun ableitet, am Ende kommt h2=h0/2 raus. Habe mich schon etwas rumprobiert, kam aber nicht zu Lösung. Vielen Dank vorab.

Comments

Es wird etwas einfacher, wenn du nicht x(h₂), sondern x²(h₂) ableitest.

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Maximum bestimmen durch Ableitung

Ist das die Originalaufgabe ("durch Ableitung"), oder ist das nur deine Interpretation?

Ohne Verwendung von Ableitungen geht es wesentlich einfacher.

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Die Aufgabe ist eine Interpretation. Die Aufgabe grundsätzlich habe ich verstanden, wollte nur nochmal wissen, wie diese Ableitung funktioniert.

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung von \(x(h_2)=2\sqrt{(h_0-h_2)h_2}\) funktioniert mit der Kettenregel. Der Faktor \(2\) vorne ist unkritisch, die Ableitung der Wurzelfunktion ist \(\left(\sqrt x\right)'\to\frac{1}{2\sqrt x}\), sodass gilt:

$$x'(h_2)=2\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{(h_0-h_2)h_2)}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\,(h_0-h_2)h_2\,\right)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$Die beiden Zweien kürzen wir raus und zur Berechnung der inneren Ableitung beachten wir die Umformung: \((h_0-h_2)h_2=h_0h_2-h_2^2\) und erhalten:

$$x'(h_2)=\cancel2\cdot\underbrace{\frac{1}{\cancel2\sqrt{(h_0-h_2)h_2)}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\,h_0h_2-h_2^2\,\right)'}_{=\text{innere Ableitung}}=\frac{1}{\sqrt{(h_0-h_2)h_2)}}\cdot(h_0-2h_2)$$

Diese Ableitung ist gleich \(0\), wenn der Zähler \(=0\) wird, also für \(h_2=\frac{h_0}{2}\)

Comments

Super vielen Dank erstmal für die Antwort.

Ich habe probiert die Wurzel in x\( x^{1/2} \) zu schreiben und das dann abzuleiten, dass hat aber nicht geklappt.

Aber kurze Frage noch zum letzten Schritt. Da man weiß, dass die Ableitung 0 ist, kann man den Zähler einfach 0 setzen?

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Wann ist ein Bruch 0?

Eine typische Frage für den Mathematikunterricht der Klassen 5 und 6.

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Ja, ein Bruch \(\frac ab\) ist genau dann \(=0\), wenn der Zähler \(a=0\) und der Nenner \(b\ne0\) ist. Du kannst dir das bildlich vorstellen. Wenn du nichts, auf eine Anzahl von Personen aufteilst, bekommt jede Person nichts. Der Bruchteil, den jede Person erhält, ist also \(0\).

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Klar wusste natürlich, dass es 0 ist, hätte nur nicht gedacht, dass die Lösung dann so einfach ist xD.