Funktion, Globales Maximum bestimmen

Question

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N} \) betrachte die Funktion \( f_{n}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f_{n}(x)=\frac{x}{n^{2}} e^{-\frac{x}{n}} . \)

(a) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f_{n} \) ein globales Maximum mit Wert \( \frac{1}{n e} \) annimmt.

(b) Untersuchen Sie die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.

Answer 1

f_n'(x)=0 <=> (1/n^2-x/n^3)*e^(-x/n) = 0 <=>   x=n

Also einziger Extremstellenkandidat bei x=n.

f ' ' (x/n) = -1/(e*n^3) < 0 also dort ein Maximum,

als einziges bei der überall stetigen Funktion also

absolutes Max. Mit

f_n(n)=e^(-1)/n.   q.e.d.

Konvergiert punktweise wohl gegen die 0-Funktion.