Integrieren Sie die Funktion über das Bild von Vektor v

Question

Aufgabe:

Hallo. Ich habe etwas Schwierigkeiten mit dem b) von dieser Aufgabe.

Wäre dankbar für jede Hilfe.
Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Gegeben sei das Vektorfeld
\( \vec{v}:[-1,1]^{2} \times[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, t) \mapsto t\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)+(1-t)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 0 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie das Volumen des Bildes von \( \vec{v} \) mit der Transformationsformel. Beschreiben Sie dazu das Bild von \( \vec{v} \) in geeigneten Koordinaten.
b) Integrieren Sie die Funktion \( f(x, y, z)=z \) über das Bild von \( \vec{v} \).

Comments

Hi, ich kommentiere hier nur, weil ich die Tatsache witzig finde, dass ich gerade vor exakt der gleichen Aufgabe sitze und auch nicht weiterkomme (Ana 2 für Ingenieurwissenschaften TU Berlin).

Ein Gedanke war, einfach z für t einzusetzen, also dann auch in die Funktionaldeterminante aus a).

Weiß nur nicht, ob ich da nen Denkfehler habe.

Hoffentlich weiß hier jemand Bescheid.

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Hallo,

ich verstehe das so, dass die angegebene Darstellung die Koordinatendarstellung ist, also - ich schreibe mal p,q für die x,y in der Definition von v

$$\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=v(p,q,t)=\begin{pmatrix}(1-t)p \\ (1-t)q \\5t\end{pmatrix}$$

Dieses V wäre dann auch in der Transformationsformel zu verwenden. Das Bild des Definitionsbereichs von v ist dann eine Pyramide.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Das Bild von \(\vec v\) deckt ein Volumen ab, das wir mit folgendem Ortsvektor \(\vec r\) abtasten können:$$\vec r=\begin{pmatrix}(1-t)x\\(1-t)y\\5t\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[-1|1]\;;\;y\in[-1|1]\;;\;t\in[0;1]$$

Das Volumenelement \(dV\) bestimmen wir mit Hilfe der Funktionaldeterminante:$$\frac{dV}{dx\,dy\,dt}=\frac{\partial(r_1,r_2,r_3)}{\partial(x,y,t)}=\left|\begin{array}{rrr}1-t & 0 & -x\\0 & 1-t & -y\\0 & 0 & 5\end{array}\right|=5(1-t)^2=5(t-1)^2$$

Damit können wir das Integral für das Volumen formulieren:$$V=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=-1}^1\;\;\int\limits_{t=0}^15(t-1)^2\,dx\,dy\,dt=5\cdot\int\limits_{x=-1}^1dx\cdot\int\limits_{y=-1}^1dy\cdot\int\limits_{t=0}^1(t-1)^2\,dt$$$$\phantom{V}=5\cdot2\cdot2\cdot\left[\frac{(t-1)^3}{3}\right]_{t=0}^1=20\cdot\frac13=\frac{20}{3}$$

Wegen \(z=5t\) lautet das zweite Integral:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=-1}^1\;\;\int\limits_{t=0}^1\underbrace{5t}_{=z}\cdot\underbrace{5(t-1)^2\,dx\,dy\,dt}_{=dV}=25\cdot\int\limits_{x=-1}^1dx\cdot\int\limits_{y=-1}^1dy\cdot\int\limits_{t=0}^1(t^3-2t^2+t)\,dt$$$$\phantom{I}=25\cdot2\cdot2\cdot\left[\frac{t^4}{4}-\frac{2t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\right]_{t=0}^1=100\cdot\frac{1}{12}=\frac{25}{3}$$