Aloha :)
Das Bild von v deckt ein Volumen ab, das wir mit folgendem Ortsvektor r abtasten können:r=⎝⎛(1−t)x(1−t)y5t⎠⎞;x∈[−1∣1];y∈[−1∣1];t∈[0;1]
Das Volumenelement dV bestimmen wir mit Hilfe der Funktionaldeterminante:dxdydtdV=∂(x,y,t)∂(r1,r2,r3)=∣∣∣∣∣∣∣1−t0001−t0−x−y5∣∣∣∣∣∣∣=5(1−t)2=5(t−1)2
Damit können wir das Integral für das Volumen formulieren:V=x=−1∫1y=−1∫1t=0∫15(t−1)2dxdydt=5⋅x=−1∫1dx⋅y=−1∫1dy⋅t=0∫1(t−1)2dtV=5⋅2⋅2⋅[3(t−1)3]t=01=20⋅31=320
Wegen z=5t lautet das zweite Integral:I=x=−1∫1y=−1∫1t=0∫1=z5t⋅=dV5(t−1)2dxdydt=25⋅x=−1∫1dx⋅y=−1∫1dy⋅t=0∫1(t3−2t2+t)dtI=25⋅2⋅2⋅[4t4−32t3+2t2]t=01=100⋅121=325