Aloha :)
Das Bild von \(\vec v\) deckt ein Volumen ab, das wir mit folgendem Ortsvektor \(\vec r\) abtasten können:$$\vec r=\begin{pmatrix}(1-t)x\\(1-t)y\\5t\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[-1|1]\;;\;y\in[-1|1]\;;\;t\in[0;1]$$
Das Volumenelement \(dV\) bestimmen wir mit Hilfe der Funktionaldeterminante:$$\frac{dV}{dx\,dy\,dt}=\frac{\partial(r_1,r_2,r_3)}{\partial(x,y,t)}=\left|\begin{array}{rrr}1-t & 0 & -x\\0 & 1-t & -y\\0 & 0 & 5\end{array}\right|=5(1-t)^2=5(t-1)^2$$
Damit können wir das Integral für das Volumen formulieren:$$V=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=-1}^1\;\;\int\limits_{t=0}^15(t-1)^2\,dx\,dy\,dt=5\cdot\int\limits_{x=-1}^1dx\cdot\int\limits_{y=-1}^1dy\cdot\int\limits_{t=0}^1(t-1)^2\,dt$$$$\phantom{V}=5\cdot2\cdot2\cdot\left[\frac{(t-1)^3}{3}\right]_{t=0}^1=20\cdot\frac13=\frac{20}{3}$$
Wegen \(z=5t\) lautet das zweite Integral:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=-1}^1\;\;\int\limits_{t=0}^1\underbrace{5t}_{=z}\cdot\underbrace{5(t-1)^2\,dx\,dy\,dt}_{=dV}=25\cdot\int\limits_{x=-1}^1dx\cdot\int\limits_{y=-1}^1dy\cdot\int\limits_{t=0}^1(t^3-2t^2+t)\,dt$$$$\phantom{I}=25\cdot2\cdot2\cdot\left[\frac{t^4}{4}-\frac{2t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\right]_{t=0}^1=100\cdot\frac{1}{12}=\frac{25}{3}$$