Bestimmen Sie ein \delta>0 , sodass für alle x \in(0, \delta) die Ungleichung gilt.

Question

Aufgabe:

Sei \( f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}} \) für alle \( x>-1 \).

\( \checkmark \) i) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt \( a=0 \) von \( f \), welches wir im Folgenden mit \( T^{(2)} f(x ; 0) \) bezeichnen.

ii) Sei \( \varepsilon>0 \) beliebig. Bestimmen Sie ein \( \delta>0 \), sodass für alle \( x \in(0, \delta) \) die Ungleichung \( \left|f(x)-T^{(2)} f(x ; 0)\right|<\varepsilon \) gilt.

Problem/Ansatz:

i.) habe ich gefunden und das wäre \(T^{(2)}f(x;0)=x-\frac{1}{2}x^2\)

Aber ich verstehe ii.) nicht, wie man delta dazu finden soll. Kann mir Jemand die Grundidee dazu geben, wie man da herangehen soll?∀

Comments

Die Grundidee ist: Der Satz über die Taylorformel enthält eine Fehlerabschätzung, also eine Abschätzung für |f(x)-T^(2)(x)| mit Hilfe der dritten Ableitung von f. Diese sollst Du auswerten. Vermute ich jedenfalls, man kann natürlich auch direkt die Differenz untersuchen.

Answer 1

\(  f'''(x)=\frac{3x+18}{8(x+1)^{3,5}} \)

Mit dem Lagrange-Restglied bekommst du also für x>0

für \( \left|f(x)-T^{(2)} f(x ; 0)\right|\) die Abschätzung

\(  < \frac{(3x+18)\cdot x^3 }{3!\cdot 8(x+1)^{3,5}} = \frac{(x+6)\cdot x^3 }{ 16(x+1)^{3,5}}= \frac{x^4+6x^3 }{ 16(x+1)^{3,5}} \)

wenn man von δ<1 ausgeht , ist δ^4<δ und δ^3<δ ,

also der Zähler kleiner 7δ und der Nenner größer als 1,

also gilt \( \frac{x^4+6x^3 }{ 16(x+1)^{3,5}} < 7δ \)

Und damit 7δ<ε gilt, muss nur δ<ε/7  und natürlich (s.o.) δ<1

gelten, also ist δ  = min{ 1, ε/7 } ein möglicher Wert.