Du kannst ja beispielsweise eine Fallunterscheidung machen: Zuersteinmal jene \( \alpha \in \mathbb{R} \) mit \( \alpha>0 \). Nach einmaligem anwenden von l'Hopital ergibt sich
\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(1+x)^{\alpha}}{1+x^{\alpha}}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(1+x)^{\alpha-1}}{x^{\alpha-1}}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{\alpha-1}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\alpha-1}\end{aligned} \)
Nun ist \( y^{\alpha-1} \) eine stetige Funktion und wir können den Limes reinziehen, es ergibt sich
\(\begin{aligned}\left(1+\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}\right)^{\alpha-1}=1^{\alpha-1}=1\end{aligned}\)
Für den zweiten Fall betrachten wir nun \( \alpha<0 \). Hier lässt sich der Limes dann mit einfachen Potenzgesetzen wie folgt umschreiben:
\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(1+x)^{\alpha}}{1+x^{\alpha}}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{(1+x)^{|\alpha|}} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^{|\alpha|}}} .\end{aligned} \)
Es gilt nun die Limesregel, dass wenn beide Faktoren konvergieren, das Produkt der Limes gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert. Der erste Faktor konvergiert klar gegen 0 , der letztere gegen 1 , da
\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^{|\alpha|}}}=\frac{1}{1+\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{|\alpha|}}}=\frac{1}{1+0}=1 .\end{aligned} \)
Somit ist also das Produkt 0 und wir haben für \( \alpha<0 \)
\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(1+x)^{\alpha}}{1+x^{\alpha}}=0\end{aligned} \)
Für den Fall \( \alpha=0 \) ist der Grenzwert offensichtlich \( \frac{1}{2} \).
