Zeigen Sie: Für jedes x ∈ ℝ ist die Äquivalenzklasse, die x enthält,

Question

Aufgabe:

3. Auf ℝ betrachten wir folgende Relation
x ∼ y : ⇐⇒ x−y ∈ ℚ.
Zeigen Sie: Für jedes x ∈ ℝ ist die Äquivalenzklasse, die x enthält,
⟨x⟩ := {y ∈ ℝ : x ∼ y}
abzählbar unendlich.

Answer 1

Hallo

mach die Unterscheidung x∈Q  folgt alle y in Q also albzählbar

x in R/Q dann muss y=x*q  q in Q sein also wieder albzählbar da Q albzählbar

lul

Answer 2

Die Abbildung $\mathbb{Q}\rightarrow \langle x \rangle,\; q\mapsto x+q$ ist

offenbar eine Bijektion, d.h. $\mathbb{Q}$ und $\langle x \rangle$ sind

gleichmächtig.