Zeigen Sie: ({0}, +) ≤ (Z, +) ≤ (Q, +)

Question

Aufgabe:

Sei (G, ◦), eine Gruppe und U ⊂ G. Dann heißt (U, ◦|U ) Untergruppe
von G, falls (U, ◦|U ) eine Gruppe ist. In diesem Fall schreibt man (U, ◦|U ) ≤ (G, ◦).
Zeigen oder widerlegen Sie:
({0}, +) ≤ (Z, +) ≤ (Q, +)

Problem/Ansatz:

Also meine Idee wäre, erstmal zu zeigen, dass all diese tatsächlich Gruppen sind. Danach müsste man beweisen, dass all diese Gruppen Untegruppen voneinander sind(in der gegebenden Reihenfolge)

Comments

Du kannst dir viel sparen, wenn du das Untergruppenkriterium
verwendest:

In deinem additiven Falle heißt das

1. \(U\neq \emptyset\)

2. \(\forall a,b\in U:\; a-b\in U\).