Logarithmusgleichungen lösen lg anwenden

Question

Aufgabe:

\( \lg (7 x+2)-\lg 60=-\lg (7 x-2) \)

Problem/Ansatz:

Kann ich bei solche Aufgaben gleich lg anwenden?

also ....................... | lg

dann bekomme ich

7x+2 - 60 = -7x -2

oder ist das nicht erlaubt ?

Answer 1

Aloha :)

Hier kommst du mit zwei Logarithmengesetzen aus:$$(1)\quad\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\quad;\quad(2)\quad\log\left(\frac ab\right)=\log(a)-\log(b)$$nachdem du alle Logarithmen auf die linke Seite gebracht hast:

$$0=\lg(7x+2)+\lg(7x-2)-\lg(60)$$$$\phantom{0}\stackrel{(1)}{=}\lg\left(\,(7x+2)(7x-2)\,\right)-\lg(60)=\lg\left(\,(7x)^2-2^2\,\right)-\lg(60)=\lg(49x^2-4)-\lg(60)$$$$\phantom{0}\stackrel{(2)}{=}\lg\left(\frac{49x^2-4}{60}\right)$$

Jetzt musst du noch wissen, dass \(\log(1)=0\) gilt. Das Argument in der Klammer muss also \(=1\) werden:$$\frac{49x^2-4}{60}=1\implies49x^2-4=60\implies49x^2=64\implies x^2=\frac{64}{49}\implies x=\pm\frac87$$

Answer 2

\( \lg (7 x+2)-\lg 60=-\lg (7 x-2) \)

Wenn du hier \(\lg\) anwendest, dann bekommst du

        \( \lg(\lg (7 x+2)-\lg 60)=\lg(-\lg (7 x-2)) \).

Das ist ungefähr genau so sinnvoll, wie die Gleichung

        \(3x = 12\)

zu lösen indem man mit 3 multipliziert.

Du musst die Umkehrung von \(\lg\) anwenden um den Logarithmus wegzubekommen.

Vorher solltest du aber die linke Seite mit Logarithmengesetzen zu einem Logarithmus zusammenfassen und die rechte Seite mit Logarithmengesetzen zu einem Logarithmus zusammenfassen.