Übungszettel Logarithmusgleichungen lösen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \lg \left(2^{x-3}+2^{x-2}\right)-x \cdot \lg 2=\lg 2^{x} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen, wie ich es lösen kann?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\lg\left(2^{x-3}+2^{x-2}\right)-x\lg(2)=\lg\left(2^x\right)\quad\right|\text{links umformen}$$$$\left.\lg\left(2^x\cdot2^{-3}+2^x\cdot2^{-2}\right)-x\lg(2)=\lg\left(2^x\right)\quad\right|\text{links \(2^x\) ausklammern}$$$$\left.\lg\left(2^x\cdot\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^2}\right)\right)-x\lg(2)=\lg\left(2^x\right)\quad\right|\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\text{ anwenden}$$$$\left.\lg(2^x)+\lg\left(\frac38\right)-x\lg(2)=\lg(2^x)\quad\right|-\lg(2^x)$$$$\left.\lg\left(\frac38\right)-x\lg(2)=0\quad\right|+x\lg(2)$$$$\left.\lg\left(\frac38\right)=x\ln(2)\quad\right|\colon\lg(2)$$$$x=\frac{\lg\left(\frac38\right)}{\lg(2)}=\frac{\lg(3)-\lg(8)}{\lg(2)}=\frac{\lg(3)}{\lg(2)}-\frac{\lg(2^3)}{\lg(2)}=\frac{\lg(3)}{\lg(2)}-\frac{3\cdot\lg(2)}{\lg(2)}$$$$x=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}-3\approx-1,4150375$$

Answer 2

Schreibe 2^x-3 + 2^x-2 als \( \frac{1}{8}\cdot2^x \)+\( \frac{1}{4}\cdot2^x \) und fasse zusammen.