Punkte in R² mit Matrix

Question

Text erkannt:

Seien \( n \geq 2 \) und \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) paarweise verschiedende Punkte in der Ebene \( \mathbb{R}^{2} \). Seien \( G_{1}, \ldots, G_{m} \) die paarweise verschiedenen Geraden im \( \mathbb{R}^{2} \), auf denen je mindestens zwei dieser Punkte liegen. Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) die Matrix, deren Eintrag in Zeile \( i \) und Spalte \( j \) eins ist, wenn \( v_{j} \in G_{i} \), und null sonst.
(a) Gebe eine Interpretation für die Einträge der Matrix \( A A^{T} \in \mathbb{R}^{m \times m} \).
(b) Gebe eine Interpretation für die Einträge der Matrix \( A^{T} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \).
(c) Zeige mit Hilfe von Aufgabe \( 2(\mathrm{c}), \operatorname{dass} \operatorname{det}\left(A^{T} A\right) \neq 0 \).
(d) Zeige mit Hilfe von Aufgabe 1(a), dass \( n \leq m \) ausser wenn \( m=1 \).

Aufgabe:

Die Zusatzvoraussetzung für c) ist die selbige wie für d): m≥ 2

Problem/Ansatz:

Hallo, wir haben Probleme mit dem Lösen dieser Aufgabe. Kann und jemand behilflich sein?

Liebe Grüße und ein großes Dankeschön!

Comments

Für c) und d) benötigen wir keine Hilfe.

Answer 1

Hallo,

die Matrix \(AA^T\) hat die Einträge

$$(AA^T)_{i,k}=\sum_{j=1}^n a_{ij}a_{kj}$$

Wir habe hier eine Summe, deren Summanden nur die Werte 1 und 0 annehmen können. Der Wert 1 wird genau dann angenommen, wenn beide Faktoren \(a_{ij},a_{kj}\)  gleich 1 sind, also

$$a_{ij}a_{kj}=1 \iff v_j \in G_i \text{  und } v_j \in G_k$$

Der Eintrag \((AA^T)_{i,k}\) zählt also, wieviele Punkte den beiden Gerade \(G_i,G_k\) gemeinsam sind.

Gruß Mathhilf

Comments

Der Eintrag \((AA^T)_{i,k}\) zählt also, wieviele Punkte den beiden Gerade \(G_i,G_k\) gemeinsam sind.

das kann nicht richtig sein. Dann dürfte der Wert dieses Elements ja nie \(>1\) sein, da die Vorgabe lautet, dass die Geraden paarweies verschieden sind.

In dem einfachen Beispiel mit drei Punkten (die nicht alle drei auf einer Geraden liegen) und drei Geraden ist immer(!)$$AA^T = \begin{pmatrix}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{pmatrix}, \quad n=m=3$$

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Hallo,

ich verstehe den Einwand noch nicht. Zunächst ist ja die Matrix A als Inzidenzmatrix unabhängig vom Aufgabenzusammenhang definiert. Daher ist das Ergebnis zunächst unabhängig davon - würde also auch passen, wenn die Gi beliebige Mengen wären - oder ist meine Überlegung falsch?

In Deinem Beispiel passt das Rechenergebnis zur Lage: Je 2 verschiedene Geraden haben 1 Punkt als Durchschnitt. Die Diagonale liefert: 2 Punkte pro Gerade.

Gruß Mathhilf

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Die Diagonale liefert: 2 Punkte pro Gerade.

Ja genau - es ist wohl eher ein Probelm der deutschen Sprache ;-)

Auf der Hauptdiagonalen von \(AA^T\) steht eine 2 weil jede Gerade mit sich selbst(!) zwei (oder mehr) gemeinsamen Punkte hat. Und mit den anderen Geraden hat sie in dem einfachen 3'er-Fall von oben jeweils einen gemeinsamen Punkt.

@Mathilf: Ich nehme meinen Einwand zurück. Den Fall 'Gerade mit sich selbst' hatte ich übersehen.

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es ist wohl eher ein Probelm der deutschen Sprache ;-)

Ja, das stimmt. Ich werde nie vergessen, wie ich als junger Mensch die Frage beantworten musste, ob "Bruder sein" eine reflexive Relation ist. Bin ich mein eigener Bruder? Na ja, ich und ich haben dieselbe Mutter!