Verdopplungszeit von Salmonellen

Question

Aufgabe:

Wenn etwa 17 Millionen Salmonellen in 1 g Nahrung aktiv sind, drohen gesundheitliche Schäden. Eine mit rohen Eiern zubereitete Speise hat um 9 hr eine Konzentration von 100 Salmonellen pro g und erreicht ungekühlt um 23 hr den gesundheitskritischen Wert.

a) Bestimmen Sie die Verdopplungszeit der Salmonellen unter diesen Bedingungen.

b) Durch Kühlung lässt sich die Verdopplungszeit verdreifachen. Wann wird nun der kritische Wert erreicht?

Problem/Ansatz:

Answer 1

100*a^14= 17 000 000

a^14 = 170 000

a= 170000^(1/14)= 2,36376

2= a^t

t= ln2/lna = 0,8057 h = ca. 48,3 min

b) 100*a^(0,8057/3*t) = 17 000 000

t= 52,13 h

Comments

Was bedeutet In2/Ina?

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Vielleicht verrät 2016 dir bei der Gelegenhait auch gleich noch, wieso ln2/lna die Maßeinheit "Stunden" hat

Answer 2

Aloha :)

Um von der unbedenklichen Konzentration \(100\) auf die bedenkliche Konzentration \(17\,000\,000\) zu kommen, sind \(n\) Verdopplungen nötig:$$100\cdot2^n=17\,000\,000\implies2^n=170\,000\implies n\ln(2)=\ln(170\,000)\implies$$$$n=\frac{\ln(170\,000)}{\ln(2)}\approx17,3752$$

Für diese Anzahl an Verdopplungen haben die Salmonellen von 9 bis 23 Uhr gebraucht, also 14 Stunden. Daher brauchen sie für eine Verdopplung die Zeit:$$T_2=\frac{14\,\mathrm h}{17,3752}\approx0,8057\,\mathrm h=48\,\mathrm{min}\,21\,\mathrm s$$

Wenn sich die Verdopplungszeit durch Kühlung verdreifacht, werden für die \(17,3752\) nötigen Verdopplungen nicht \(14\), sondern \(3\cdot14=42\) Stunden benötigt.