Zeigen Sie folgendes für die Cosinusfunktion

Question

Aufgabe:

$$cos(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$

Zeigen Sie, dass

$$cos(2)\leq -\frac{1}{3}$$

und folgern Sie daraus, dass die Cosinusfunktion cos: ℝ -> ℝ, x -> cos(x), die durch die Cosinusreihe definiert ist, im Intervall [0,2] eine Nullstelle hat.

Problem/Ansatz:

cos(2) konvergiert ja auf jeden Fall, da die Cosinusreihe einen Konvergenzradius von unendlich hat. Hab x=2 schon eingesetzt, komme dann aber nicht weiter. Der Rest ist aber klar, denn:

Durch Potenzreihen definierte Funktionen sind stetig, d.h. die Funktion cos ist stetig. cos(0) ist offensichtlich gleich 1. D.h. cos(0) = 1 > 0 > -1/3 ≥ cos(2). Dann gibt es aber eine Nullstelle im Intervall [0,2].

Answer 1

Berechne die ersten Summanden der Reihe für x=2

cos(2) = \(  \frac{(-1)^0}{0!} \cdot 2^0 +  \frac{(-1)^1}{2!} \cdot 2^2 + \frac{(-1)^2}{4!} \cdot 2^4 + ... \)

=  \(  1 +  \frac{-1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{24} \cdot 16 + ... \)

=  \(  1 - 2   + \frac{2}{3} + ...  =    \frac{-1}{3} + ...\)  

und bei ... stehen Summanden, deren Beträge immer kleiner

werden und die sind abwechseln positiv und negativ,

aber es beginnt mit einem negativen, also kommt bei

den -1/3 jedenfalls was negatives dazu und somit ist

das Ergebnis ≤ -1/3.