2 x 2 Matrizen Formel

Question

Aufgabe:

Sei
\( A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \)

Berechnen Sie \(A^{2}-\operatorname{Spur}(A) \cdot A\) und stellen Sie das Ergebnis unter Verwendung von \( \operatorname{det}(A) \) und \( E_{2} \) dar.

Answer 1

Hallo,

Wenn $$A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$$dann ist $$A^2=\begin{pmatrix} a_{11}^2 + a_{12}a_{21} & a_{12}(a_{11}+a_{22}) \\ a_{21}(a_{11}+a_{22})& a_{12}a_{21}+a_{22}^2 \end{pmatrix} \\ \operatorname{Spur}(A)=a_{11}+a_{22}\\\det(A) = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$Also ist der gesuchte Term$$\phantom{=}A^2 - \operatorname{Spur}(A)A \\= \begin{pmatrix} a_{11}^2 + a_{12}a_{21} & a_{12}(a_{11}+a_{22}) \\ a_{21}(a_{11}+a_{22})& a_{12}a_{21}+a_{22}^2 \end{pmatrix} - (a_{11}+a_{22})\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} a_{12}a_{21} - a_{11}a_{22} & 0 \\ 0 & a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22} \end{pmatrix}\\=-\det(A)\cdot E_2$$Gruß Werner

Answer 2

\( A^{2}-\operatorname{Spur}(A) \cdot A  =\left(\begin{array}{ll} a_{12} \cdot a_{21} - a_{11} \cdot a_{22} & 0\\ 0& a_{12} \cdot a_{21} - a_{11} \cdot a_{22}  \end{array}\right)  \)

= - det(A) * E₂ .