Teilmenge soll Nullmenge sein (Beweis)

Question

Zeigen Sie, dass es sich bei den folgenden Teilmengen des \( \mathbb{R}^{2} \) bzw. \( \mathbb{R}^{3} \) um Nullmengen handelt:

\( M:=\left\{(x, x) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \in[0,1]\right\} \).

Answer 1

Betrachte für alle n∈ℕ die Punkte (1/n ; 1/n) , (2/n ; 2/n) ,... (n-1/n ; n-1/n)

\( (\frac{1}{n} ;\frac{1}{n}),(\frac{2}{n} ;\frac{2}{n}),\dots,(\frac{n-1}{n} ;\frac{n-1}{n}) \)

und dann um jeden dieser Punkte das achsenparallele Quadrat Q_n mit der Seitenlänge 1/n.

Eines hat die Fläche 4/n^2 . Die n Quadrate überdecken M und die Summe der Inhalte

beträgt \(   n \cdot \frac{4}{n^2}  = \frac{4}{n} \). Also gibt es zu jedem ε eine

Überdeckung mit achsenparallelen Quadrate, bei der die Summe der Inhalte

kleiner ε ist.

In R^3 entsprechend mit Würfeln.

Comments

Wie wählt man hier die Menge der Quader, also woher weiß ich, dass dies durch 1/n definiert ist?

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Du musst ja schauen, dass die Vereinigung der Quader

M überdeckt und Summe der Volumina gegen 0 geht.

Das klappt auch in R^3 mit Quadern der Kantenlänge 1/n,

da hat jeder das Volumen 1/n^3 und die Summe ist n*1/n^3 = 1/n^2

und das geht gegen 0.