Das Besondere an Wurzel 2 und der Goldenen Zahl

Question

Was ist das Besondere an der Quadratwurzel aus 2 \( \sqrt{2} \)  und der Goldenen Zahl (Goldener Schnitt) und warum werden ihnen immer eine so große Bedeutung zugeschrieben? Ähnlich wie Pi und die Eulersche Zahl scheinen sie extrem wichtig zu sein, doch deren Bedeutung in der Technik oder Physik bspw. ist mir bekannt.

Was hat es aber mit den beiden genannten irrationalen Zahlen auf sich? Außer, dass sie unendlich viele Nachkommastellen haben...

Answer 1

√2 ist das Verhältnis aus Länge der Diagonalen und Seitenläge im Quadrat (regelmäßigen Viereck), die goldene Zahl ist das Verhältnis aus Länge der Diagonalen und Seitenläge im regelmäßigen Fünfeck.

Answer 2

Hallo,

wenn man ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis von \(\sqrt 2\div 1\) an der schmaleren Seite halbiert ...

... bekommt man zwei neue Rechtecke mit dem identischen Seitenverhältnis.

Und wenn man von einem Rechteck mit dem Seitenverhältnis \(\Phi\div 1\) ein Quadrat abschneidet ....

... bleibt ein Rechteck mit dem identischen Seitenverhältnis stehen.

beide Zahlen haben eine 1'er Periode in der Kettenbruchentwicklung:$$\begin{aligned} \Phi &= [1;\,\overline 1]\\\sqrt 2 &= [1;\,\overline 2]\end{aligned}$$und da die Zahl \(\Phi\) das mit einer \(1\) macht, gilt sie als irrationalste Zahl.

Bem.: Die nächste Zahl mit einer 1'er Periode, die ich gefunden habe, ist$$\frac{\sqrt{13}-1}{2} = [1;\,\overline 3]$$Gruß Werner

Comments

Bei der Fibonacci-Folge (a_n) : 1  1  2  3  5  8  13  21  ... erhält man a_n aus
a_n = a_n-1 + a_n-2 . Die Quotienten 1/1  1/2  2/3  3/5  5/8  8/13  ... konergieren zu einer Zahl und wenn man 1 zu diesem Grnzwert addiert, dann erhält man Φ.

Ändert man die Rekursion ab zu b_n = 2b_n-1 + b_n-2 so ergibt sich die Folge
(b_n) : 1  1  3  7  17  41  99  139  ... und die Quotienten 1/1  1/3  3/7  7/17  17/41  41/99  ... konvergieren und 1 zu diesem Grenzwert addiert ergibt √2 .

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Die nachstehende Tabelle ist nach folgendem Schema aufgebaut :

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
pn	1	3	4	6	8
qn	2	5	7	10	13

Jede natürliche Zahl kommt genau einmal unter den p_n bzw q_n vor und es ist q_n = p_n + n
Die kleinste nat. Zahl, die noch nicht vorkommt, ist 9 und die wird als p₆ eingetragen und daraus folgt, dass jetzt q₆ = 9+6 = 15 wird. 10 kommt schon vor (q₄) und deshalb wird als nächstes 11 als p₇ eingetragen und q₇ = 11+7 = 18 berechnet.
Die weitere Tabelle sieht also so aus :

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
pn	1	3	4	6	8	9	11	12	14
qn	2	5	7	10	13	15	18	20	23

Die nächste Tabelle mit den Folgen r und s übernimmt die erste Regel : Jede natürliche Zahl kommt genau einmal vor, aber diesmal wird die zweite Regel abgeändert zu s_n = r_n + 2n. Dann ergibt sich

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
rn	1	2	4	5	7	8	9	11	12
sn	3	6	10	13	17	20	23	27	30

Nun ergibt sich der Zusammenhang    p_n = ⌊n·Φ⌋  und r_n = ⌊n·√2⌋

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Zusatz : Die Zahl X, die u_n = ⌊n·X⌋ für die zweite Regel v_n = u_n + 3n erfüllt und die weitere Verallgemeinerung zu finden sollte kein Problem darstellen.

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Ändert man die Rekursion ab zu b_n = 2b_n-1 + b_n-2 ...

Und wenn man die Rekursion zu \(b_n=3b_{n-1}+b_{n-2}\) ändert, dann scheint der Quotient zu einem anderen bekannten Wert zu laufen:$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{b_{n}}{b_{n-1}} \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{13}+3}{2}=[3;\,\overline{3}]$$Da ist ja wohl ein System dahinter!