Zeigen Sie, dass für das Gruppenhomomorphismus phi eine Untergruppe von B ist.

Question

Text erkannt:

a) Zeigen Sie, dass für das Gruppenhomomorphismus \( \varphi: A \rightarrow B \varphi(A) \) eine Untergruppe von \( B \) ist.
b) Formulieren Sie wörtlich, was Sie unter einem Dualraum verstehen.

Kann wer diese Aufgabe lösen?

mit freundlichen Grüßen

vlad

Comments

Was hast du denn bei a) schon untersucht?

Answer 1

Ich schreib mal + und * für die Verknüpfungen in den beiden Gruppen.

Wende ein Untergruppenkriterium auf \(  \varphi(A) \) an:

1. Neutrales El.  e_B von B ist in \(  \varphi(A) \)

Da \(  \varphi \) ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt \(  \varphi(e_A) = e_B \)

 ==>    \(  \varphi(e_A) = e_B \in \varphi(A)  \).

2. Abgeschlossenheit: Seien  \( x,y \in \varphi(A) \). Dann muss man zeigen, dass x*y

auch in \(  \varphi(A) \) ist.

Wegen \( x,y \in \varphi(A) \) gibt es u und v aus A mit

\(  \varphi(u) = x \) und   \(  \varphi(v) = y \) 

Wegen der Abgeschlossenheit von A ist auch u+v in A und es

gilt (wegen Hom.)  \(  \varphi(u+v ) = \varphi(u) *\varphi(u ) = x*y  \)

Also gibt es ein Element in A (nämlich u+v) dessen Bild x*y ist,

also \( x*y \in \varphi(A) \).

mit   \(  \varphi(x^{-1}) =     \varphi(x)^{-1} \) zeigst du auch, dass zu jedem

\( y \in \varphi(A) \) auch   \( y^{-1} \in \varphi(A) \).