Zeigen Sie, dass für das Gruppenhomomorphismus phi eine Untergruppe von B ist.

Question

Text erkannt:

a) Zeigen Sie, dass für das Gruppenhomomorphismus $\varphi: A \rightarrow B \varphi(A)$ eine Untergruppe von $B$ ist.
b) Formulieren Sie wörtlich, was Sie unter einem Dualraum verstehen.

Kann wer diese Aufgabe lösen?

mit freundlichen Grüßen

vlad

Comments

Was hast du denn bei a) schon untersucht?

Answer 1

Ich schreib mal + und * für die Verknüpfungen in den beiden Gruppen.

Wende ein Untergruppenkriterium auf $\varphi(A)$ an:

1. Neutrales El.  e_B von B ist in $\varphi(A)$

Da $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt $\varphi(e_A) = e_B$

 ==>    $\varphi(e_A) = e_B \in \varphi(A)$.

2. Abgeschlossenheit: Seien  $x,y \in \varphi(A)$. Dann muss man zeigen, dass x*y

auch in $\varphi(A)$ ist.

Wegen $x,y \in \varphi(A)$ gibt es u und v aus A mit

$\varphi(u) = x$ und   $\varphi(v) = y$ 

Wegen der Abgeschlossenheit von A ist auch u+v in A und es

gilt (wegen Hom.)  $\varphi(u+v ) = \varphi(u) *\varphi(u ) = x*y$

Also gibt es ein Element in A (nämlich u+v) dessen Bild x*y ist,

also $x*y \in \varphi(A)$.

mit   $\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}$ zeigst du auch, dass zu jedem

$y \in \varphi(A)$ auch   $y^{-1} \in \varphi(A)$.