Mit der cardanoschen Formel Lösung der Gleichung x^3-15x+4=0 ermitteln

Question

Aufgabe:

wie kann ich mit der cardano‘schen Forml eine Lösung der Gleichung x^3-15x+4=0 ermitteln?
kann mir wer erklären wie ich auf die lösung komme? Rechenschritte bitte!

Comments

Warum willst du denn die Gleichung unbedingt mit der Formel von Cardano lösen?
Faktorisieren wäre wesentlich einfacher: x³ - 15x + 4 = (x + 4)·(x² - 4x + 1).

Answer 1

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Lösen der kubischen Gleichung   x³ - 15x + 4 = 0
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Die Gleichung liegt bereits in einer reduzierten Form y³ + py + q = 0 vor,
in der die Unbekannte nicht im Quadrat erscheint. Dies ist nötig, um die
Lösungsformel von Cardano/Tartaglia anwenden zu können.

Aus der Gleichung y³ - 15y + 4 = 0  liest man also ab:

p = -15            q = 4

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = -121.

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.

cos(w) = -0,17888543819998318  u = 11,180339887498949

y = 3,7320508075688776
  1
y = -4
  2
y = 0,26794919243111903
  3

Der Größe nach geordnet ergeben sich also diese Lösungen der kubischen Gleichung:

x = -4
  1
x = 0,2679491924311227
  2
x = 3,7320508075688776
  3

Answer 2

Ich hab mir mal die Formel aufgeschrieben

x^3+ax=b

\(c(a, b, \mu) \, :=  \\\, \left(\mathit{e}^{2\pi i \frac{1}{3} } \right)^{\mu} \; \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\left(\frac{b}{2} \right)^{2} + \left(\frac{a}{3} \right)^{3}}} + \left(\mathit{e}^{2 \pi i\frac{1}{3} }\right)^{2 \; \mu} \; \sqrt[3]{\frac{b}{2} - \sqrt{\left(\frac{b}{2} \right)^{2} + \left(\frac{a}{3} \right)^{3}}}\)

Angewendet

{c(-15,-4, j), j=1..3 }

{-4, 0.2679491924311, 3.732050807569}

wenns darum geht Cardano’s und Ferrari’s Formeln anzuwenden?