Rechnen mit Logarithmus und Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Und zwar wollte ich fragen, was an der zweiten Umformung falsch ist und wieso man die lnx nicht direkt zu e^lnx umschreiben kann und man stattdessen diese erstmal zusammenrechnen muss wie bei der 1. Variante.

\(\frac{x^{\ln x}}{e^{x}}=e^{\ln ^{2} x-x}\)

1) \( x^{\ln x} \cdot e^{-x}=\ln x \cdot \ln x \cdot e^{-x}=\ln ^{2} x \cdot e^{-x}=e^{\ln ^{2} x} e^{-x} \) \( =e^{\ln ^{2} x-x} \)

2) \( e^{\ln x} \cdot e^{\ln x} \cdot e^{-x}=e^{\ln x+\ln x-x}=e^{2 \ln x-x} \)

Comments

und wieso man die lnx nicht direkt zu e^lnx umschreiben kann

e^lnx = x

x^lnx = e^(lnx^lnx) = e^(lnx*lnx)

Es gilt:
a^b = e^(lna^b) = e^(b*lna)

Answer 1

Potenzgesetzte gelten vor allem für Potenzen mit gleicher Basis. Diese müssen in 1) geschaffen werden:

x^lnx=\( e^{ln^2x} \).