Ich würde das wie folgt lösen:
Integration: Bioverfügbarkeit bei Arzneimitteln
Der Blutspiegelverlauf nach einer intravenösen Arzneistoffinjektion eines hydrophilen Arzneistoffs lässt sich beschreiben als
S(t) = S0·e^{- k·t}
wobei t ≥ 0 die Zeit nach der Injektion bezeichnet. S0 > 0 sei die injizierte Arzneistoffmenge und k > 0 die Eliminationsgeschwindigkeitskonstante.
(i) Berechnen Sie (in Abhängigkeit von S0 und k) die absolute Bioverfügbarkeit (BS), welche durch den Inhalt der Fläche unter der Kurve von S(t) gegeben ist, d.h.
BS = ∫ (0 bis ∞) S(t) dt
BS = (- S0/k·e^{- k·∞}) - (- S0/k·e^{- k·0})
BS = S0/k
(ii) Wird das gleiche Arzneistoffmittel oral verabreicht, so wird der Blutspiegelverlauf durch folgende Funktion beschrieben
C(t) = γ·(e^{- k·t} - e^{- a·t})
mit t ≥ 0, γ > 0 und a > k seien. Bestimmen Sie die Konstante γ so, dass die absolute Bioverfügbarkeit BC mit der von S, also mit BS, übereinstimmt.
BC = ∫ (0 bis ∞) C(t) dt
BC = γ·(e^{- a·∞}/a - e^{- k·∞}/k) - γ·(e^{- a·0}/a - e^{- k·0}/k)
BC = - γ·(1/a - 1/k)
BC = BS
- γ·(1/a - 1/k) = S0/k
γ = a·S0/(a - k)
(iii) Begründen Sie, dass die Funktion C(t) ein eindeutiges Maximum annimmt und bestimmen Sie den Zeitpunkt tc, an dem dieses Maximum angenommen wird.
C'(t) = γ·(a·e^{- a·t} - k·e^{- k·t}) = 0
a·e^{- a·t} - k·e^{- k·t} = 0
tc = LN(a/k)/(a - k)
(iv) Es sei γ > 0, die in (ii) bestimmte Konstante. Vergleichen Sie die Werte S(tc) und C(tc).
S(tc) = S0·e^{- k·LN(a/k)/(a - k)} = s·(a/k)^{k/(k - a)}
C(tc) = a·S0/(a - k)·(e^{- k·LN(a/k)/(a - k)} - e^{- a·LN(a/k)/(a - k)}) = S0·(a/k)^{k/(k - a)}
