Lineare Gleichungen Lösungsmenge

Question

Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der linearen Gleichung!

10a + 3b - 4 = 0 mit Koeffizienten in dem Körper Z8.

Problem/Ansatz:

Wie genau benutze ich den Euklidischen Algorithmus, um das zu lösen? Oder geht es auch anders?

Answer 1

Du siehst vermutlich direkt das 10 - 6 - 4 = 0 gilt oder

Also ist eine Lösung

a = 1 ; b = -2

Das ist aber nur eine Lösung unter vielen. Weißt du wie du die anderen Lösungen erhältst?

Warum darf ich z.b. a um 3 erhöhen wenn ich gleichzeitig b um 10 erniedrige?

Comments

Das hilft schon mal weiter, danke. Also 3a=10b :). Aber was hat es mit dem Körper Z8 (ganze Zahlen) auf sich?

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Z8 enthält nur die Zahlen { 0,1,...,6,7} bzw. diese

mit einem Vielfachen von 8 addiert.

Also rechnest du da z.B. auch 5+6=3 weil (3+8=11)

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Z8 ist die Resteklasse beim Teilen durch 8.

Damit kannst du deine Gleichung jetzt noch etwas erweitern

10a + 3b = 4 + 8c

Ich darf also auch immer 8 zur Lösung hinzuzählen weil 8 bei der Teilung durch 8 immer einen Rest von 0 hat.

Damit wäre jetzt die Lösung

a = 1 + 2c - 3r
b = -2 - 4c + 10r

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Schau dir auch bitte die Antwort von mathef an

https://www.mathelounge.de/915576/lineare-gleichungen-losungsmenge?show=915580#a915580

Es ist günstig gleich die 10 auch Modulo 8 zu nehmen um das Ganze noch etwas zu vereinfachen.

Answer 2

10a + 3b  = 4   über Z8 also

2a + 3b = 4 .  Da Z8 ja nicht so sehr viele Elemente hat,

kann man ja probieren und sieht schnell b=0 und a=2 tun es schon.

Answer 3

Hallo,

10a + 3b - 4 =0= 8k

3b=8k+4-10a=2•(4k+2-5a)

b muss also gerade sein.

Mit einer Tabelle:

10a+3b-4	b=0		2		4		6
a=0	-4		2		8		14
1	6		12		18		24
2	16		22		28		34
3	26		32		38		44
4	36		42		48		54
5	46		52		58		64
6	56		62		68		74
7	66		72		78		84

Comments

Versuche es mal lieber mit b=(4-10a)/3.

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@abakus

Danke für den Hinweis.

:-)

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Meine Korrektur kam 10 Sekunden zu spät.

;-)