LGS Summe aus Gleichungen gleiche Lösungsmenge, warum?

Question

Ich habe eine Frage zu LGS. Ich weiß zwar, wie man sie löst, doch eine Sache sorgt gerade für Verwirrung.

Sei 

I: 2x+y=6

II: x+y=6

Es soll jetzt nicht darum gehen, wie man es löst, sondern meine Frage:

Man darf ja 2 Gleichungen miteinander addieren ohne, dass sich die Lösjngsmenge verändert. Würde ja bedeuten 2x+y+x+y=12

also 3x+2x=12 hat die gleiche Lösungsmenge wie mein LGS.

Aber: 3*2+2*3=12 x=2, y=3

Diese Lösung erfüllt aber weder I noch II..

Kann mir jemand sagen, was es heißt, dass die Summe der Gleichungen die gleiche Lösungsmenge hat?

Comments

Eine einzelne Gleichung mit mehr als einer Unbekannten hat ja unendlich viele Lösungen

Auch deine Gleichung "x + y = 6" hat z.B. die Lösung x = 3 ; y = 3. Dieses ist aber nicht die Lösung des Gleichungssystems.

Bei einem Gleichungssystem sucht man ja eine Variablenbelegung, für die ALLE Gleichungen erfüllt sind.

Deine Gleichung "3·x + 2·x = 12" sollte also mit der Lösung des Gleichungssystem erfüllt sein.

Answer 1

Wie du selbst festgestellt hast, haben das System [I∧II] und die Gleichung (I+II) nicht unbedingt die gleiche Lösungsmenge. Die Lösungsmenge wird aber nicht verändert, wenn wir das System [I∧II] beispielsweise durch das System [I∧(I+II)] ersetzen.

Answer 2

Hallo

Das LGS
2x+y=6 I
x+y=6  II
hat die eindeutige Lösung x = 0 und y = 6

"also 3x+2x=12 hat die gleiche Lösungsmenge wie mein LGS."

Das sollte wohl 3x+2y=12 heißen.
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Das sind ein paar Lösungen mehr als die eine von oben.

"Man darf ja 2 Gleichungen miteinander addieren ohne, dass sich die Lösjngsmenge verändert"
So ist es, dann darfst du aber nicht einfach eine Gleichung weglassen. Beispiel, LGS wie oben:
Addiere I und II
3x + 2y = 12I

Jetzt haben die LGS
2x+y=6
3x + 2y = 12
und
x+y=6
3x + 2y = 12
dieselbe Lösungsmenge.

Du hast einfach aus dem LGS mit zwei Gleichungen eine Gleichung gemacht. Dann kann ja die Lösungsmenge nicht gleich sein, wenn das LGS eindeutig ist, wenn also keine Gleichung das Vielfache einer anderen ist. Dein Beispiel würde funktionieren, wenn die Gleichungen Vielfache voneinander wären z.B.

x + y = 2
2x + 2y = 4

Dann gibt es mit x = 2-y unendlich viele Lösungen, was auch für die Summe 3x + 3y = 6 zutrifft.

Grüße