Sei p eine Primzahl, wie viele eindimensionale Unterräume hat (Zp)n?

Question

Aufgabe: Sei p eine Primzahl, wie viele eindimensionale Unterräume hat (Z_p)ⁿ ?

Problem/Ansatz: Also spontan würde ich sagen p Stück, aber habe keine rechte Begründung dafür und auch keine Idee, wie man das systematisch angehen soll.

Answer 1

\((Z_p)^n\) enthält \(p^n\) Vektoren und damit

\(p^n-1\) Vektoren \(\neq 0\). Alle Vielfachen eines solchen Vektors

liefern eine Gerade, also einen 1-dimensionalen Unterraum.

Zwei Vektoren liefern denselben Unterraum, wenn einer von ihnen

ein Vielfaches \(\neq 0\) des anderen ist.

Jeder Vektor hat also \(p-1\) skalare Vielfache, die denselben

1-dimensionalen Unterraum aufspannen.

Daher liefern die \(p^n-1\) verschiedenen Vektoren genau

\(\frac {p^n-1}{p-1}\) verschiedene 1-dimensionale

Unterraäume.