Aloha :)
Wir folgen dem angegebenen Rezept und untersuchen die Extermwerte von$$f(x)\coloneqq\arcsin(x)-2x\sqrt{1-x^2}\quad;\quad x\in[-1|1]$$Da wir mit dem Besteck der Differentialrechnung nur \(x\in(-1|1)\) betrachten können, halten wir zunächst für die Ränder des Definitionsbereichs fest, dass:$$f(-1)=-\frac\pi2\quad;\quad f(1)=\frac\pi2\quad\implies\quad f(-1)\le\frac\pi2\quad\land\quad f(1)\le\frac\pi2$$
Jetzt suchen wir das Maximum der Funktion im Intervall \(x\in(-1|1)\). Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-2\sqrt{1-x^2}-2x\,\frac{(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{2(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1-2+2x^2+2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{4x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}$$Beide Nullstellen der ersten Ableitung \(x_{1;2}=\pm\frac12\) liegen im Definitionsbereich. Wir prüfen die Kandidaten, ob es tatsächlich Extrema sind. Dazu brauchen wir die zweite Ableitung:$$f''(x)=\frac{8x\sqrt{1-x^2}-(4x^2-1)\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{8x(1-x^2)+(4x^2-1)x}{(1-x^2)^{3/2}}$$$$f''(x)=\frac{8x-8x^3+4x^3-x}{(1-x^2)^{3/2}}=\frac{x(7-4x^2)}{(1-x^2)^{3/2}}$$Die Prüfung ergibt:$$f''(-1/2)=-\frac{8}{\sqrt3}<0\implies\text{Maximum bei }x=-\frac12$$$$f''(+1/2)=+\frac{8}{\sqrt3}>0\implies\text{Minimum bei }x=+\frac12$$Der Maximalwert der Funktion im Intervall \((-1|1)\) beträgt daher:$$f\left(-\frac12\right)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\approx0,34\le\frac\pi2$$
Für alle \(x\in[-1|1]\) gilt also \(f(x)\le\frac\pi2\) wobei Gleichheit nur für \(x=1\) gilt. Daher ist:$$\arcsin(x)-2x\sqrt{1-x^2}\le\frac\pi2\quad;\quad x\in[-1|1]$$Das stellen wir noch zur endgültigen Fassung um:$$\arcsin(x)\le\frac\pi2+2x\sqrt{1-x^2}\quad;\quad x\in[-1|1]\qquad\checkmark$$
