Zuersteinmal musst du zeigen, dass die Funktion differenzierbar ist. Hierfür genügt es, lediglich zu überprüfen, ob sie im Punkte \( x=0 \) differenzierbar ist, da sie ja sonst eine Komposition von stetigen Funktionen ist. Um die Existenz des Grenzwertes zu zeigen können wir ihn einfach berechnen:
\( \begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\exp \left(-\frac{1}{h}\right)}{h} & \stackrel{(1)}{=} \lim \limits_{u \rightarrow \infty} \exp (-u) u \\ &=\lim \limits_{u \rightarrow \infty} \frac{u}{\exp (u)} \stackrel{(2)}{=} \lim \limits_{u \rightarrow \infty} \frac{1}{\exp (u)}=0 . \end{aligned} \)
In (1) wurde der Variablenwechsel \( u=1 / h \) vollzogen und in (2) der Satz von l'Hoptial verwendet. Es ist klar, dass
\(\begin{aligned} \lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(h)-f(0)}{h}=0\end{aligned} \)
Wir finded also als Ableitung die Funktion
\(\begin{aligned} f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{x^{2}} \exp \left(-\frac{1}{x}\right), & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right.\end{aligned} \)
Die Stetigkeit ist wieder mal nur am Punkt \( x=0 \) nachzuprüfen, es ergibt sich:
\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x^{2}} \exp \left(-\frac{1}{x}\right)=\lim \limits_{u \rightarrow \infty} \frac{u^{2}}{\exp (u)}=0 = \lim\limits_{x \to 0^-} f'(x)\end{aligned} \)
wobei hier analog wie im vorherigen Grenzwert vorgegangen wurde (diesmal bedurfte es jedoch der zweimaligen Anwendung des Satzes von l'Hopital).
