Komplexe Zahlen: Betrag |((1+i)^2/(1-3i) - 7/5 + 9/5 i | berechnen.

Question

Komplexe Zahlen: Betrag berechnen:

\( \left|\frac{(1+i)^{2}}{1-3 i}-\frac{7}{5}+\frac{9}{5} \mathrm{i}\right|=\left|-\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}-\frac{7}{5}+\frac{9}{5} \mathrm{i}\right|=|-2+2 \mathrm{i}|=2 \sqrt{2} \)

Answer 1

Erweitere den Bruch mit dem konjugiert Komplexen seines Nenners, also mit ( 1 + 3 i ) . Dann ausmultiplizieren, zusammenfassen und kürzen.
Und immer daran denken: i ² = - 1

Comments

Ich habe es gerade versucht, vielleicht kannst du mir noch sagen wie ich das mit quadrat oben handhaben soll?

Also unten ist klar, da komme ich dann auf 1+9 aber oben weiß ich wegen dem quadrat nicht weiter.

Danke für deine Hilfe

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Nenner ist richtig! :-)

Im Zähler muss stehen:

( 1 + i ) ² * ( 1 + 3 i )

Der quadratische Ausdruck wird "einfach" ausmultipliziert (erste binomische Formel):

( 1 + i ) ² = ( 1 + i ) ( 1 + i ) = 1 + 2 i + i ²

und das ist wegen i ² = - 1 :

= 1 + 2 i - 1

= 2 i

Das multipliziert mit ( 1 + 3 i ) :

2 i ( 1 + 3 i ) = 2 i + 2 i * 3 i

= 2 i + 6 i ²

= 2 i - 6

Das ist der Ausdruck, der im Zähler steht. Nun nur noch kürzen und du hast es :-)

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Super. Hab es verstanden. Habe nicht gewusst, dass man das quadrat "einfach" ausmultiplizieren darf.

Hätte noch eine andere Frage, vielleicht kannst du da auch helfen.

\( \left|\frac{e^{-\frac{\pi}{4} i}(2-3 i)^{4}}{(-\sqrt{2}+\sqrt{2} i)^{5}}\right|=\frac{\sqrt{13}^{4}}{2^{5}}=\frac{169}{32} \)

Ich komme auf das Ergebnis, Aber ich verstehe nicht warum das "e hoch" nicht beachtet wird.

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Es gilt:

$${ e }^{ -\frac { \pi  }{ 4 } i }=\frac { 1-i }{ \sqrt { 2 }  }$$

Versuch mal, ob du damit weiterkommst.

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Der Betrag von e^{iφ} ist doch immer 1. Also ist | e^{iπ/4} | = 1.

Das solltest du mit dem von JotEs vorgeschlagenen Weg auch rausbekommen.

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Ich danke euch. Aber ich glaube ich steht gerade etwas auf dem Schlauch.

Wie berechne ich noch mal den Betrag von  e^iφ ?

 

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Benutze die Definition

 e^iφ = cos φ + i sin φ

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Stimmt. Ja. Jetzt hab ich s verstanden ;-) Danke euch!