Wann ist a mal sin alpha plus b mal cos alpha = 0 lösbar?

Question

Aufgabe: Wann ist a mal sin alpha plus b mal cos alpha = 0 lösbar?

Problem/Ansatz:

Meine Lösung: Bis alpha = 360° zweimal, nämlich bei alpha = 135° und alpha = 315° UND wenn a = b ist.

Das Lehrbuch gibt jedoch als Lösung an, die Aufgabe sei STETS lösbar, und lässt die folgende  Rechnung zur Bestätigung folgen

(1) \( \sin a l_{r h a}=\pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \quad \) LCegenkallete: Hyrotenusc]

(2) \( \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \leqq 1 \)
\( [ \) Simus ind maxinal \( =1] \)
(3) \( b \leqq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \)
\( \left[G^{\prime}\right. \) egonk <athe \( \leqq \) Hypotenuse \( ] \)
(4) \( \quad a^{2} \geqq 0 \)
[ Vuslell sid von sellst? Docl was berocint duese Rechmy fin die Lösbanken' von \( a \sin 2+b \cos 2=0 \) ?

Ich verstehe zwar die einzelnen Schritte dieser Rechnung, aber was beweist sie?
Hat das Lehrbuch Recht und warum?

Comments

berocint duese Rechmy fin

Yep, genauso.

---

Leider ist meine Handschrift durch das Hochladen verstümmelt, wie ich jetzt sehe. Hier also in Klartext noch einmal die mir unverständliche Erklärung des Lehrbuchs, warum a sin alpha + b cos alpha STETS lösbar sei.
(1) sin alpha = ±b/√(a^2+b^2 )

(2) b/√(a^2+b^2 ) ≥1

(3) b ≤ √(a^2+b^2 )

(4) a² ≤ 0

Leider habe ich die Kommentare nur insoweit verstanden, dass das Lehrbuch Recht hat und ich mit meiner Lösung nicht. Warum, ist mir nach wie vor unverständlich.

---

Ich kann die Lösung aus dem Buch nicht wirklich nachvollziehen. Zum einen nehmen sie a und b als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die ja nichts mit a und b in der Aufgabe zu tun haben. Zum anderen kann ich auch nirgends die Struktur der gleichung erkenen, die deren Lösbarkeit zu zeigen ist. Bist du sicher, das du die Lösung zu der richtigen Aufgabe abgeschrieben hast.

Vielleicht machst du nochmals ein Bild der Lösung mit den Anmerkungen. Gerade

[ Vuslell sid von sellst? Docl was berocint duese Rechmy fin die Lösbanken' von \( a \sin 2+b \cos 2=0 \) ?

könnte etwas Klarheit in die Angelegenheit bringen.

---

Hier noch einmal die Angaben exakt, wie sie im Lehrbuch stehen:

Wann ist a sin phi + b cos phi = 0 lösbar?

Antwort im Lösungsheft:

stets; dann folgt:

sin phi = ±b/√(a²+b²); |  b/√(a²+b²) | ≥1;  b ≤ √(a²+b² ); a² ≤ 0

Das ist alles.

Doch es würde schon helfen, wenn du mir deine Lösung näher erklärst. Du löst die Gleichung nach alpha = arctan (-b/a) auf. Was ist damit gewonnen? Oder: Warum ist die Lehrbuch-Aufgabe damit gelöst?

---

Doch es würde schon helfen, wenn du mir deine Lösung näher erklärst. Du löst die Gleichung nach alpha = arctan (-b/a) auf. Was ist damit gewonnen? Oder: Warum ist die Lehrbuch-Aufgabe damit gelöst?

Die Aufgabe ist immer Lösbar, da ich für jede Belegung von a und b einen Winkel ausrechnen kann, sodass die Gleichung erfüllt ist. Wie man den Winkel ausrechnen kann steht ja direkt in meiner Lösung.

Ebenso könntest du nach a oder b auflösen und begründen das du jeweils ein a oder b zu einer belegung der anderen Größen finden kannst, sodass die Gleichung immer erfüllbar ist.

---

Danke! Das leuchtet mir ein! G.R.

---

Könnte es evtl. sein, dass bei der Aufgabe ein Bild war?

Also sind a und b Seitenlängen in einem passenden Dreieck mit dem Winkel phi?

Answer 1

$$a \cdot \sin(\alpha) + b \cdot \cos(\alpha) = 0 \newline a \cdot \sin(\alpha) = -b \cdot \cos(\alpha) \newline \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -\frac{b}{a} \newline \tan(\alpha) = -\frac{b}{a} \newline \alpha = \arctan \left( -\frac{b}{a} \right)$$
Die gilt für a ≠ 0. Für a = 0 blieben die Nullstellen der Cosinusfunktion oder b = 0.

Comments

Ist es vielleicht so, dass das Lehrbuch die Gleichung als gelöst darstellt, wenn die beiden Bedingungen (3) b ≤ √(a^2+b^2 ) und (4) a² ≤ 0 geklärt worden sind?

Dagegen stellen Roland und Der_{_}Mathecoach die Gleichung als gelöst dar, wenn die Beziehung zwischen alpha und –b/a hergestellt ist?

I am still confused, but on a higher level…

Answer 2

a·sin(α)+ b·cos(α) = 0

a·sin(α)= - b·cos(α)

\( \frac{sin(α)}{cos(α)} \)= - \( \frac{b}{a} \)

tan(α)=- \( \frac{b}{a} \).

Answer 3

Wann ist a•sin (α) +b•cos (α) = 0 lösbar?

cos (α)=+-\( \sqrt{1-sin^2(α)} \)

1.)  a•sin (α) +b•\( \sqrt{1-sin^2(α)} \)= 0

a•sin (α)=-b•\( \sqrt{1-sin^2(α)} \)  |\( ^{2} \)

\( a^{2} \) •\( sin^{2} \)(α)=\( b^{2} \)•(1-\( sin^{2} \)(α))

Vielleicht ist das auch eine Möglichkeit der Herangehensweise?