Bestimmen Sie die Galoisgruppe und alle Zwischenkörper des Zerfällungskörpers des Polynoms X^6 − 2 ∈ Q[X]über Q.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Galoisgruppe und alle Zwischenkörper des Zerfällungskörpers des Polynoms X⁶ − 2 ∈ Q[X] über Q.

Was ich bisher habe:

1) Nullstellen von P=X⁶ − 2 sind \( \sqrt[6]{2} \) , \( \sqrt[6]{2} \) ω ,\( \sqrt[6]{2} \) ω²  , \( \sqrt[6]{2} \) ω³   ,\( \sqrt[6]{2} \) ω⁴ , \(\sqrt[6]{2} \) ω⁵, für eine primitive 6te Einheitswurzel. Damit zerfällt über L=Q(\( \sqrt[6]{2} \) ,ω) in Linearfaktoren und ist Zerfällungskörper.

2) P ist nach Eisensteinkriterium MInimalpolynom von \( \sqrt[6]{2} \) über Q somit [Q(\( \sqrt[6]{2} \) ):Q]=6.

3)  ω ist nach der Vorlesung nicht in Q[\( \sqrt[6]{2} \) ], deshalb [L:Q(\( \sqrt[6]{2} \))]>1

     das Minimalpolynom von ω über Q ist nach Vorlesung X² -X+1 und und somit ist das Minimalpolynom von ω über Q(\( \sqrt[6]{2} \)) ein Teiler von X^2-X+1. Somit folgt [L:Q(\( \sqrt[6]{2} \))]=2.

4) Nach der Gradformel folgt: [L:Q]=[L:Q(\( \sqrt[6]{2} \))] [Q(\( \sqrt[6]{2} \)): Q]=6*2=12

5) Da Q von der Charakteristik 0, sind alle Polynome in Q separabel und somit folgt aus Satz der Vorlesung das L/Q galois ist, als Ordnung von Gal(L/Q)=12.

Mein Porblem ist jetzt die exakte Bestimmung der Galoisgruppe. Ist sie isomorph zu A4? wie mache ich jetzt weiter?

Comments

Wie du richtig erkannt hast ist der ZFK gerade \( L := \mathbb Q( \sqrt[6]{2}, \zeta_6) \), ein Automorphism ist darüber hinaus also durch Angabe auf \( \sqrt[6]{2} \) und \( \zeta_6 \) eindeutig bestimmt.

Ist nun \( \sigma \in \operatorname{Gal}(L | \mathbb Q) \), so kann \( \sigma \) die Elemente \( \sqrt[6]{2} \) und \( \zeta_6 \) nur mit anderen NST der jeweiligen MiPos permutieren.

\( \zeta_6 \) hat, wie von dir richtig erkannt, MiPo \( X^2-X+1 \) mit Nullstellen \( \zeta_6 \) und \( \bar \zeta_6 \).

Also hier die beiden Möglichkeiten \(\zeta_6 \mapsto \zeta_6 \) oder \( \zeta_6 \mapsto \bar \zeta_6 \)

Analog bekommst du für das Bild von \( \sqrt[6]{2} \) 6 Möglichkeiten. Gibt insgesamt 2*6 = 12 Abbildungen. Das enstpricht dem Grad [L:Q] was bekanntlich auch die Odnung der Galoisgruppe ist.

Welche Gruppen gibt es so mit 12 Elementen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Jetzt kannst du mal anschauen ob die Gruppe abelsch ist, welche zyklischen Untergruppen es so gibt, etc. Dann bleibt von den 5 möglichen nur 1 übrig.

(A4 scheidet z.B. aus, da du eine UG mit 6 Elementen finden wirst)

Answer 1

Sei \(\beta=\sqrt[6]{2}\).

Da die Galoisgruppe transitiv auf den Nullstellen von \(P\)

operiert, gibt es \(\sigma\in G:=Gal(L/Q)\) mit \(\sigma(\beta)=\omega\beta\).

\(X^2-X+1\) ist irreduzibel über \(Q(\beta)\) und besitzt in \(L\)

die beiden Nullstellen \(\omega\) und \(\overline{\omega}=\omega^5\).

Daher muss es ein \(\tau \in Gal(L/Q(\beta))\) geben mit

\(\tau(\omega)=\omega^5\). Ist nun \(\sigma(\omega)=\omega^5\), so

ersetze man \(\sigma\) durch \(\tau\sigma\), somit kann man \(\sigma\)

so wählen, dass \(\sigma(\omega)=\omega\) ist.

Wir untersuchen nun die Wirkung von \(\sigma\) und \(\tau\)

auf die Nullstellen \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\}\) von \(P\).

In Zykelschreibweise entspricht \(\sigma\) die Permutation

\((1\;2\;3\;4\;5\;6)\). \(\tau\) entspricht \((2\;6)(3\;5)\).

Diese beiden Permutationen erzeugen die Diedergruppe \(D_6\)

des regelmäßigen 6-Ecks.