Aloha :)
Da alle 4 Integrale vom gleichen Typ sind, machen wir uns zunächst grundlegende Gedanken zum Integral von \(a^x\). zu seiner Berechnung nutzen wir aus, dass sich die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren:$$\int a^x\,dx=\int e^{\ln(a^x)}\,dx=\int e^{x\cdot\ln(a)}\,dx=\frac{e^{x\cdot\ln(a)}}{\ln(a)}+C=\frac{1}{\ln(a)}\,a^x+C$$Zum Integrieren von \(a^x\) brauchen wir also nur durch \(\ln(a)\) zu dividieren:
$$\int\limits_2^31,5^x\,dx=\left[\frac{1,5^x}{\ln(1,5)}\right]_2^3\approx2,7746$$$$\int\limits_0^50,4^x\,dx=\left[\frac{0,4^x}{\ln(0,4)}\right]_0^5\approx1,0802$$$$\int\limits_1^43\cdot2^{3x}\,dx=3\int\limits_1^4{(2^3)}^x\,dx=3\int\limits_1^48^x\,dx=3\left[\frac{8^x}{\ln(8)}\right]_1^4\approx5897,7$$
Beim letzten Integral müssen wir nochmal kurz nachdenken, weil dort ein Minus vor dem \(x\) steht. Das geht aber mit demselben Trick vom Anfang, dass man Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion nutzt:$$\int\limits_{0,5}^13^{-x+2}dx=\int\limits_{0,5}^13^{-x}\cdot3^2dx=9\int\limits_{0,5}^1e^{\ln\left(3^{-x}\right)}dx=9\int\limits_{0,5}^1e^{-x\cdot\ln\left(3\right)}dx=9\left[\frac{e^{-x\cdot\ln(3)}}{-\ln(3)}\right]_{0,5}^1$$$$\phantom{\int\limits_{0,5}^13^{-x+2}dx}=-\frac{9}{\ln(3)}\left[3^{-x}\right]_{0,5}^1\approx1,9990$$
