Lineare Algebra Vektorbestand

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 2: Elektronische Bauteile
Ein Unternehmen produziert an einem Standort A elektronische Bauteile für Pkw. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einen Teil der 1200 Mitarbeiter langfristig in zwei andere Standorte \( B \) und \( C \) verlegen. Einige der nach \( B \) und \( C \) versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück nach A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten. Das Unternehmen setzt folgende Übergangsmatrix \( M \) fest, die über mehrere Jahre stabil bleibt:
\( M=\left(\begin{array}{ccc} 0,7 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,85 & 0 \\ 0,1 & 0,05 & 0,9 \end{array}\right) \)
a) Zu Beginn arbeiten sämtliche 1200 Mitarbeiter am Standort A. Berechnen Sie dieVerteilung auf die Standorte A, B und C nach einem und nach zwei Jahren.
b) Berechnen Sie \( M^{4} \) und interpretieren Sie die Koeffizienten dieser Matrix im Anwendungszusammenhang.
c) Es ist \( M^{10}=\left(\begin{array}{lll}0,255 & 0,249 & 0,248 \\ 0,382 & 0,426 & 0,230 \\ 0,363 & 0,325 & 0,522\end{array}\right) \). Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Matrix bezüglich der Entwicklung der Mitarbeiterzahlen an den Standorten A, B und C.
d) Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung mit insgesamt 1200 Mitarbeitern gibt, die im nächsten Jahr gleich bleibt. Falls ja, geben Sie diese Verteilung an.
e) Untersuchen Sie, ob eine Verteilung von jeweils 400 Mitarbeitern in \( A, B \) und \( C \) aus der Verteilung des Vorjahres entstanden sein kann. Falls ja, bestimmen Sie diese.
f) Das Unternehmen möchte, dass nach zwei Jahren nur noch 500 Mitarbeiter in A arbeiten. Zu diesem Zweck wird die Übergangsquote \( q \) von A nach C erhöht und der Verbleib bei A entsprechend gesenkt. Die übrigen Übergangsquoten mögen unverändert bleiben. Bestimmen Sie die Übergangsquote \( q \) so, dass aus einer Ausgangsverteilung mit 1200 Mitarbeitern am Standort A nach zwei Jahren noch 500 Mitarbeiter in A arbeiten.
Tipp: Lösen Sie dieses LGS durch eine Gleichung wie bei Aufgabe 1) beschrieben.

Problem/Ansatz:

Hey, kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Das Thema ist Lineare Algebra - Zufallsprozesse.

Vielen Dank im Voraus

Comments

Gerade Aufgabe a) solltest du doch nich eigentlich alleine Machen können oder nicht.

Es gilt grundsätzlich

v_n+1 = M * v_n

Also der Vektor im nächsten Schritt ergibt sich aus der Übergangsmatrix mal dem Vektor.

Answer 1

a)  \(  M \cdot \begin{pmatrix} 1200\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 840\\240\\120 \end{pmatrix} \)

Also nach einem Jahr 840 bei A, 240 bei B und 120 bei C.

Weiter so:

\(  M \cdot \begin{pmatrix}  840\\240\\120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 624\\372\\204 \end{pmatrix} \)

b)  M^4 =

0,3472    0,2176    0,2176
0,3948    0,6029    0,0809
0,2580    0,1795    0,7016

Über einen Zeitraum von 4 Jahren sind 34,7%

der Mitarbeiter bei A geblieben, 39,5% sind

nach B abgewandert und 25,8% nach C.

c) Bei A nimmt die Mitarbeiterzahl im Laufe von 70 Jahren

ab, es sind nur noch etwa 75% da.

Bei B hingegen bleibt es ziemlich gleich (Summe etwa 100%)

und bei C nimmt es zu.

d)  Dazu musst du lösen

\(  M \cdot \begin{pmatrix}  x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

Das gibt Lösungen der Art (0,6t , 0,8t , t ).

Damit die Summe 1200 ist, muss t=500 sein, also stationäre Verteilung

(300 ; 400; 500).

e)  Ansatz :

\(  M \cdot \begin{pmatrix}  x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400\\400\\400 \end{pmatrix} \)

Dann wären es im Vorjahr (466,7 ; 360,8 ; 372,5 ) gwesen, aber Bruchzahlen für

Mitarbeiter machen ja vielleicht keinen Sinn, außer man rechnet sowas wie:

Jemand der eine halbe Stelle hat zählt nur 0,5.

f)  Ersetze die 0,7 durch 0,7-x und die 0,1 unten links durch 0,1+x.

Und rechne mit der neuen Matrix N dann

\(  N^2 \cdot \begin{pmatrix} 1200\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1200(x^2-1,3x+0,52)\\?\\? \end{pmatrix} \)

Dann muss ja 1200(x^2-1,3x+0,52) = 500 gelten .

Das gibt etwa x=0,085  (Die andere Lösung macht keinen Sinn.)

Also muss man q=0,185 wählen.