(A Λ ¬ A) ⇒ (B ⇒ A) ist eine Tautologie zeigen

Question

Aufgabe:(A Λ ¬ A) ⇒ (B ⇒ A) ist eine Tautologie zeigen

Problem/Ansatz:

(A Λ ¬ A) ⇒ (B ⇒ A)

≡ ¬ (A Λ ¬ A) ∨ (B ⇒ A)

≡ ¬ (A Λ ¬ A) ∨ ( ¬B ∨ A)

≡ ( ¬ A ∨ ¬B) ∨ ( ¬ A ∨ A) ∨ (  A ∨ ¬B) ∨ ( A ∨ A)

Ist das so richtig? Wie geht es weiter?

Comments

\((A\wedge \lnot A)\Rightarrow C\)
ist für beliebiges \(C\) unabhängig von \(A\)
immer wahr: ex falso quodlibet !

Answer 1

Vielleicht auch so:

(A Λ ¬ A) ⇒ (B ⇒ A)

≡   0 ⇒ (B ⇒ A)

Eine Implikation mit falscher Prämisse ist

immer wahr.

Answer 2

Aloha :)

Ich verwende immer \(\cdot\) statt \(\land\) und \(+\) statt \(\lor\), um mir Klammern und Tipparbeit zu sparen...

Rechnerische Lösung:

Du kannst die Implikation umformen \((A\implies B)=(\overline A+B)\)$$(\underbrace{A\cdot \overline A}_{=0})\implies(B\implies A)\;\;=\;\;0\implies(\overline B+A)\;\;=\;\;\underbrace{\overline 0}_{=1}+(\overline B+A)\;\;=\;\;1$$

Argumentative Lösung:

\(A\cdot\overline A\) ist falsch. Aus etwas Falschem kann man immer etwas Wahres oder etwas Falsches folgern. Daher ist die Aussage immer wahr.

(Beispiel: Aus der falschen Aussage "Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen." folgt, dass \(7\) eine Primzahl ist und dass \(9\) eine Primzahl ist; also etwas Wahres und etwas Falsches.)