Ein alternativer Weg wäre:
Sei n beliebig, dann ist
$$ \begin{aligned} 3n^5 + 5n^3 +7n &\equiv 2n^3 + n \equiv 2n^{2+1} + n \equiv 2n+n \equiv 3n\\&\equiv 0 \mod (3) \end{aligned} $$
Beachte hierbei \(\varphi(3) = 2\), also ist \( n^2 \equiv 1 \mod (3) \)
$$ \begin{aligned} 3n^5 + 5n^3 +7n &\equiv 3n^5 + 2n \equiv 3n^{4+1} + 2n \equiv 3n+2n \equiv 5n \\&\equiv 0 \mod (5) \end{aligned}$$
Hier ist wegen \( \varphi(5)=4 \) gerade \( n^4 \equiv 1 \mod(5) \)
Somit \( 3 | (3n^5 + 5n^3 +7n) \) und \( 5 | (3n^5 + 5n^3 +7n) \). Die Behauptung folgt wegen ggT(3,5)=1.
