Äquivalenzrelation mit Betragsfunktion

Question

Seien X und Y nichtleere Mengen und sei f: X → Y eine Funktion.
Wir betrachten die Relation

∼f = {(x1, x2) ∈ X × X | f(x1) = f(x2)} .
Die Relation ∼f ist eine Äquivalenzrelation auf X.

(a) Betrachten Sie die Betragsfunktion abs: Z → N, z → |z|.
Geben Sie [42]∼abs explizit an.
[42]∼abs =

(b) Sei f nun surjektiv. Betrachten Sie die Funktion
ϕ: (X / ∼f) → Y
[x]∼f → f(x) .
Beweisen Sie, dass ϕ bijektiv ist.

Ansatz:

a) [42]∼abs=42

Ich weiß nicht, was genau ich da angeben soll bzw. wie ich dabei vorgehe.

b) Auf jeden Fall muss die Injektivität noch bewiesen werden:

Bedeutet, für alle x,y aus X gibt es ein x aus X und ein y aus X wobei x und y ungleich sind, sodass auch f(x) ungleich f(y) ist. Ich habe jedoch das Problem, wie ich die Betragsfunktion einbinde.

Answer 1

a)   (x,y) ∈[42]∼abs  <=>  |x| = |y| = |42| = 42

Also ist [42]∼abs = {(42;42) , (-42;-42) , (-42;42)  , (42;-42) }.

Comments

(x,y) ∈[42]∼abs

ist nicht richtig, sondern (x,y) ∈ ∼abs   und dementsprechend [42]∼abs = {-42 , 42}