Äquivalenzklasse angeben von: a ~ b: ⇔ 5| a-6b

Question

Aufgabe: Gegeben Sei die Relation auf ℤ definiert durch a ~ b: ⇔ 5| a-6b.

c) Geben Sie (ohne Beweis!) die Äquivalenzklasse von 1 an.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Dass die Äquivalenzrelation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, habe ich schon in b) gezeigt. Als nächstes nun die Aufgabe mit der Äquivalenzklasse. Um diese anzugeben, benötige ich Teil b) aber gar nicht, oder?

Was muss ich hier machen? Muss ich a-6b = irgendwas umstellen, sodass ich einen Wert für a raus bekomme?

Oder muss ich z.B. b ~ b annehmen, und dann irgendwas damit zeigen?

Ist dieser Vorgang vorerst richtig? :

[1]~ = {x ∈ ℤ: x ~ 1} = {x ∈ ℤ: 5| x - 6 * 1 ∈ ℤ},

also setze ich b = 1?

Liebe Grüße

Answer 1

Ja, \(b=1\) setzen ist angesagt, also

\(5\;|\; a-6\), d.h. \(a-6=5k\) mit ganzem \(k\),

also \([1]=\{ 6+5k: \; k\in Z \}= \{1+5m: \; m \in Z \}\).

Comments

Wieso aber lautet dann die vorgegebene Musterlösung nur:

[1]~ = {...-1,4,6...} ?

Wie komme ich darauf? wenn ich diese Werte aus der Menge für m einsetzen würde, bekomme ich doch nicht die 1 jeweils raus.

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Manche Musterlösungen heißen zu Unrecht so ;-)
Das siehst du ja schon daran, dass der Repräsentant
garnicht in seiner angeblichen Klasse liegt ....

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Und wie komme ich denn auf die 1+5m am Ende?

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6+5k=1+5+5k=1+5(1+k). Nenne m:=1+k.

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Aber wieso mache ich das denn? Ist dieser Schritt, die Mengenangabe mit m, nötig?

Und wie komme ich dann auf die Musterlösung?

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Ich sagte bereits, dass die Musterlösung falsch ist.
Hast du meinen Text nicht verstanden?

In der angegebenen Menge der "Musterlösung"
kommt doch das Element 1 gar nicht vor! Wie kann diese Menge
dann die Klasse [1] von 1 sein?

Aber vielleicht meinte der Autor [-1] ...

Der Übergang von k zu m ist nicht nötig.

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Ok, dankeschön. Habe dem Prof jetzt mal ins Forum geschrieben.

Aber wie finde ich jetzt Repräsentanten?

Muss ich dann in 6+5*k beliebige Werte für k einsetzen, und diese alle sind Repräsentanten?

Bei [-1] müsste die Äquivalenzklasse aber [...-1,4,9...] lauten, denn wenn die 6 drinne wäre, würde:

{x ∈ ℤ: 5|x-6* (-1) ∈ ℤ}.

Also: 5| x + 6.

Wenn man dann also für x = 6 einsetzen würde, dann hätte man 12. 5 teilt 12 nicht.

Aber

5 teilt (x = -1) + 6 = -5,

5 teilt (x = 4) + 6 = 10,

5 teilt (x = 9) + 6 = 15.

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Ja, natürlich. Das ist ja der Sinn der Sache ;-)
Alle Elemente der Menge sind Repräsentanten
derselben, also "ihrer" Klasse.

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Du hast Recht, selbst wenn der Autor [-1] gemeint hätte, wäre
die angegebene Menge falsch. Die sogenannte Musterlösung
ist also in jedem Falle disqualifiziert.

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Ok, dankeschön. Hatte ja dann trotzdem einen großen Lerneffekt!

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Wäre die Äquivalenzklasse von 0, von folgender Relation: a ~ b : ⇔ 3|a-4b

so richtig?:

[0]~ = {x ∈ ℤ: x ~ 0} = {x ∈ ℤ: 3| x- 4 * 0 ∈ ℤ}

Für b = 0 erhält man also 3|a-4*0, d.h. ∃k ∈ ℤ mit 3k = a.

Also [0]~ = {3k: k ∈ ℤ} = {3m: m ∈ ℤ}

und somit gilt: [0]~ = {...-3, 0, 3, 9, 12, 15...}

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Ja. Genauso ist es :-)

Answer 2

Wegen a-6b = a-b - 5b ist a-6b genau dann durch 5 teilbar, wenn a-b durch 5 teilbar ist.

5|(a-b) ist aber die Definition für a ≡ b mod 5.

Äquivalent zu 1 sind also alle ganzen Zahlen, die kongruent zu 1 modulo 5 sind.