Aloha :)
Klammere zunächst \(x\) aus:$$x\cdot(x^3+3x-4)=0$$
Alle ganzzahligen Nullstellen der verbliebenen Klammer müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \((-4)\). Deren Teiler sind \(\pm1,\pm2\,\pm4\). Einsetzen liefert leider nur für \(x=1\) eine weitere Nullstelle. Also muss der Linearfaktor \((x-1)\) enthalten sein. Um uns die Polynomdivision zu ersparen, scheiben wir den Term etwas um:$$\phantom{=}x^3+3x-4=x^3\,\underbrace{-x^2+x^2}_{=0}\,\underbrace{-x+4x}_{=3x}-4=(x^3-x^2)+(x^2-x)+(4x-4)$$$$=x^2(x-1)+x(x-1)+4(x-1)=(x^2+x+4)\cdot(x-1)$$
Damit haben wir die ursprüngliche Gleichung weiter faktorisiert:$$x\cdot(x-1)\cdot(x^2+x+4)=0$$Damit sind wir aber auch schon fertig, denn die verbliebene quadratische Gleichung hat keine weitere reelle Nullstelle:$$x^2+x+4=x^2+x+\frac14+\frac{15}{4}=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}>0$$
