Modalwert bei Binomialverteilung

Question

Liebe Lounge,

mich beschäftigt seit lange Zeit die folgende Frage, bzw. suche ich einen Beweis für den folgenden Satz:

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsvariable X mit B(n,p,k) und dem Erwartungswert E(X).

(i) Für p=0,5 ist die Verteilung symmetrisch. In diesem Fall hat die Verteilung zwei Modalwerte für n gerade (bei E(X)-1 und E(X)+1) und einen Modalwert bei E(X) für n ungerade.

(ii) Für p ≠ 0,5 hat die Verteilung genau einen Modalwert und zwar entweder bei direkt rechts neben E(X) (falls p>0,5) oder direkt links von E(X) (falls p<0,5).

Habt ihr eine Idee, wie man die beiden Aussagen (i) und (ii) beweisen kann? Ich habe leider keine Ahnung!

Tausend Dank,

Kombi

Answer 1

Beide Sätze sind verkehrt oder ?

i) n = 10 ; p = 0.5

ii) n = 10 ; p = 0.51

Comments

Wer hat also die Sätze so notiert? Du oder ein Fachlehrer?

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Das ist wohl korrekt.

Ich wollte genauer sein als nötig und habe an dieser Stelle die Dinge etwas durcheinander gewürfelt.

Kurz:

Bei einer Binomialverteilung ist der Modalwert immer identisch mit dem Erwartungswert oder eben DIREKT rechts oder links neben dem Erwartungswert.

Das sollte ja stimmen, wie kann man das beweisen?

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Für das Formel und Merkheft:

Wenn der Erwartungswert ganzzahlig ist, dann ist der Erwartungswert der Modalwert, ansonsten befindet sich der Modalwert direkt links oder recht vom Erwartungswert.

Und eigentlich ist das Wort Modalwert hier auch nicht korrekt. Der Modalwert ist in einer Stichprobe der am häüfigsten auftretende Wert.

Hier geht es eher um den Wert mit der größten Auftrittswahrscheinlichkeit.

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Lieber Coach,

sagt dir die "Fechnersche Lageregel" etwas?

http://viles.uni-oldenburg.de/navtest/viles1/kapitel05_Die~~lSchiefe~~leiner~~lVerteilung/modul02_Lageregel~~lund~~lSchiefema~~sz/ebene01_Konzepte~~lund~~lDefinitionen/05__02__01__01.php3?print=1

Wieso gilt der Satz (unter c)) nicht bei deinem Beispiel mit n=10 und p=0.51?

Oder liegt es daran, dass dieser Satz eine "Wenn, dann.." Aussage ist und er auch nur in dieser Richtung gilt?

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sagt dir die "Fechnersche Lageregel" etwas?

Sagte mir bisher nichts.

Ich weiß auch nicht exakt woran das liegt.

Für hinreichend große n könnte man die Binomialverteiilung durch die Normalverteilung annähern. Die Normalverteilung wäre allerdings eine symmetrische Verteilung oder nicht? Bei dieser liegt ja der Modalwert und das arithmetische Mittel zusammen.

Übertragen wir das auch die Binomialverteilung sollten hier auch Modelwert und arithmetisches Mittel (Erwartungswert) näherungsweise zusammen liegen. Der Zentralwert liegt allerdings hier davon Abweichend.

Vermutlich würdest du also eine Binomialverteilung nicht als links oder rechsschief bezeichnen. Aber wie gesagt weiß ich das nicht so genau.

Wieso gilt der Satz (unter c)) nicht bei deinem Beispiel mit n=10 und p=0.51?

Der Erwartungswert ist hier 5.1 und es gilt p > 0.5. Deiner Meinung nach sollte dann der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit 6 sein oder sehe ich das falsch?

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Ja also gemäß der Definition der Schiefe der Binomialverteilung, wäre die die Verteilung für n=10 und p=0.51 linksschief.

Gemäß der "Fechterischen Lageregel" würde demnach gelten:

E(X) < Mod(X), was ja aber an dieser Stelle offensichtlich nicht stimmt ...