Wie stelle ich diese Reihe mithilfe der geometrischen Reihe auf?

Question

 \( f(z)=\frac{1}{2 z+5} \)

Hallo zusammen, ich soll diese Reihe im Entwicklungspunkt z=0 entwickeln. Wie stelle ich diese Reihe mithilfe der geometrischen Reihe auf?

Und wie bestimme ich dann den Wert von z, für den die Reihe konvergiert?

Answer 1

Die Summenformel der geometrischen Reihe mit Quotient q lautet

s = 1 / 1-q . Da musst du nur deinen Bruch in diese Form bringen

1/(2z+5) = 1/(5+2z) = (1/5) * 1/ (1 +0,4z) = (1/5) * 1/ (1 - (-0,4z) )

Also hast du die Reihe mit q=-0,4z und den Faktor 1/5 davor

\(  \frac{1}{5}\sum \limits_{k=0}^{\infty} ( \frac{-2z}{5})^k = \frac{1}{5}\sum \limits_{k=0}^{\infty} ( \frac{-2}{5})^k \cdot z^k= \frac{1}{5}\sum \limits_{k=0}^{\infty}  \frac{(-2)^k}{5^k} \cdot z^k = \sum \limits_{k=0}^{\infty}  \frac{(-2)^k}{5^{k+1}} \cdot z^k\)

Comments

und wie bestimme ich jetzt noch den Wert für z, für den die Reihe konvergiert?

---

geometrische Reihe konvergiert für |q| < 1.

Also  -1 < 0,4z < 1.

---

Okay, und woran sehe ich das, bzw. wie bestimme ich das allgemein?

---

Mit der Summenformel 1 / (1-q) vergleichen,

zeigt q=-0,4z

Answer 2

 \( f(z)=\frac{1}{2 z+5} =\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1-(-0,4z)}\).

Den Faktor \( \frac{1}{5}\) kannst du vor die Summe ziehen. Setzt nun noch -0,4z=q, damit hast du den Term aus der Summenformel der geometrischen Reihe.

Comments

Danke soweit schonmal. Wie mache ich es aber bei der Funktion:

\( \frac{1}{z+1}-\frac{1}{2(1+z / 2)} \) Theoretisch bekomme ich ja nach deiner Lösung hier quasi zwei Gültigkeitsbereiche

1. Term: \( |z|<1 \)

2. Term: \( |z|<2 \)

nehme ich von den beiden dann den kleineren Wert?

Answer 3

Die geoemetrische Reihe ist \(\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q};|q|<1\); also: