Tangens: Höhe eines Turms.

Question

Um die Höhe eines Turmes zu ermitteln, wird von einem Punkt aus, der 41 m vom Fußpunkt des Turmes entfernt ist, die Spitze des Turmes unter einem Winkel von 25,5" gesehen. Die Augen des Betrachters sind in einer Höhe von 1,5 m.

Ich verstehe leider nicht die Aufgabe.

Answer 1

Aloha :)

Die horizonatle Entfernung des Auges vom Turm beträg \(s=41\,\mathrm m\).

Die Höhe des Auges über dem Erdboden beträgt \(h=1,5\,\mathrm m\).

Beim Blick auf die Spitze des Turms ist das Auge um \(\varphi=25,5^\circ\) geneigt.

Damit wird offensichtlich ein rechtwinkliges Dreieck beschrieben, mit Winkel \(\varphi\), Ankathete \(s\) und Gegenkathete \((H-h)\). Dabei ist \(H\) die unbekannte Höhe des Turmes, von der wir ja \(h=1,5\,\mathrm m\) für die Höhe des Auges subtrahieren müssen:$$\tan\varphi=\frac{H-h}{s}\quad\implies\quad H=h+s\cdot\tan\varphi$$Einsetzen liefert:$$H=1,5\,\mathrm m+41\,\mathrm m\cdot\tan(25,5^\circ)\approx21,06\,\mathrm m$$

Answer 2

Mach dir eine Skizze!

Answer 3

Meine Skizze bringt leider nichts :(

Comments

Bist du denn unsicher, ob der Turm an einem horizontalen Platz steht?

Wenn ja, wähle den Platz so, dass du möglichst wenig rechnen musst und erkläre, dass du dich für deine Skizze entschieden hast, damit ein einfacher Rechenweg möglich ist.

Du darfst auch probieren die Frage allgemein zu lösen und so die Bandbreite der möglichen Turmhöhen bestimmen.

Answer 4

Hallo,

Skizze bringt immer was.....

Höehe des Betrachter von 1,5m zu Schluss dazu addieren: also Gesamthöhe h = x+1,5

tan 25,5° = x/41        x= tan 25,° *41   = 19,56m           h = 1,5 +19,56 = 21,06m gerundet

Comments

Skizze bringt immer was.

und hilft,   tan 25,5° = x/41 zu vermeiden.
Gerundet ist h = 21,04 m.

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Gerundet ist h = 21,04 m.

... weil man mit den Füßen nicht sehen kann - ok. Mit ähnlichem Argument fängt 'unter einem Winkel' beim Fuß des Turms an, der dann nur noch 19,23m hoch ist ;-)

Answer 5

Ich verstehe ja beim besten Willen nicht, wo diese deppate Skizze bleibt.

Der Lösungsweg steht im Titel der Aufgabe. Dazu braucht es rechtwinklige Dreiecke. In diesem Fall gibt es zwei.

Answer 6

In deiner Skizze fehlt der Punkt, der in der Aufgabe erwähnt ist :  wird von einem Punkt aus .
Ergänze ihn !

Answer 7

Um die Höhe eines Turmes zu ermitteln, wird von einem Punkt aus, der 41 m vom Fußpunkt des Turmes entfernt ist, die Spitze des Turmes unter einem Winkel von 25,5° gesehen. Die Augen des Betrachters sind in einer Höhe von 1,5 m.

tan(25,5°)=\( \frac{Strecke C bis Turmspitze}{41} \)

x=41*tan(25,5°)≈19,556

Turmhöhe: 1,50m+19,556m≈21,06m

Comments

Lt. Aufgabenstellung hat der Punkt \(B\) den Abstand 41m vom Punkt \(E\).
Demnach hätte \(B\) nach Pythagoras den Abstand \(\sqrt{41^2-1,5^2}\) m von \(C\).