Gesucht ist die dim(V) von diesem Vektorraum

Question

Gegeben ist der Vektorraum V:

\( V:=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle \)

Nun möchte in die dim(V) wissen. Im Skript gibt es drei Formeln:

1) dim(V) ist die maximale Anzahl an unabhängigen Vektoren

2) dim(V) ist die anzahl an Vektoren in der Basis

2) dim(V) = dim(Kern(V)) + dim(Bild(V))

Rechnung nach Formel 1):

In habe die Drei Vektoren in Zeilenstufenform gebracht:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 &4 \\0 & 5&-5\\ 0 & 0&0\ \end{pmatrix}$$

Jetzt lese ich die Pivot Elemente ab und habe die Anzahl von meinen Linear unabhängigen Vektoren.

--> Also ist nach 1) die dim(V)=2

Rechnung nach Formel 2):

In habe die Drei Vektoren in Zeilenstufenform gebracht:
$$\begin{pmatrix} 1 & -3 &4 \\0 & 5&-5\\ 0 & 0&0\ \end{pmatrix}$$

Jetzt lese ich die Pivot Elemente ab und habe die Anzahl von meinen Vektoren in der Basis.

--> Also ist nach 2) die dim(V)=2

Rechnung nach Formel 3):

In habe die Drei Vektoren in Zeilenstufenform gebracht:
$$\begin{pmatrix} 1 & -3 &4 \\0 & 5&-5\\ 0 & 0&0\ \end{pmatrix}$$

Jetzt lese ich die Pivot Elemente ab und habe die dim(Bild(V)=2

Pro Nullzeile habe ich einen Kern. Eine Nullzeile heißt: dim(Kern(V))=1

Ergebnisse in die Formel einsetzen: dim(V) = dim(Kern(V)) + dim(Bild(V))

dim(V) = 1 + 2

--> Also ist nach 3) die dim(V)=3

Was habe ich hier bei 3) falsch gemacht?

Was stimmt jetzt?

Comments

Die dritte Formel ist falsch. Ein Vektorraum hat keinen Kern und kein Bild. Eine ähnliche Formel gibt es allerdings für lineare Abbildungen.

Answer 1

Keine Gewähr:

Wie Mathhilf sagt, kannst du 3) nicht anwenden. Du könntest auch die Basis in dem Vektorraum zählen, indem du die linear unabängigen Vektoren zählst. Der dritte Vektor ist eigentlich der erste minus den zweiten, das ergibt dann den dritten Vektor. Den kannst du einfach von der Basis entfernen, dann hast du noch die ersten zwei Vektoren, die wirklich l.unabh. zueinander sind. Dann hättest du eine Dimension von 2.