Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x, y) = −x + y unter der Nebenbedingung x² − y² = 1

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion

f(x, y) = −x + y

unter der Nebenbedingung

x² − y² = 1

Problem/Ansatz:

Wenn ich dies mit dem Lagrange-Ansatz versuche zu lösen, kommt bei mir immer ein Widerspruch heraus. Kann es sein, dass diese Aufgabe keine Lösung hat? War eine alte Klausuraufgabe.

Vielen Dank vorab und viele Grüße!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nach Lagrange ist eine notwendige Bedingung für einen Extremwert-Kandidaten, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion$$f(x;y)=-x+y$$eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen ist. Da wir hier nur eine Nebenbedingung$$g(x;y)=x^2-y^2=1$$haben, lautet diese Forderung formal:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{-1}{1}=\lambda\binom{2x}{-2y}$$Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten:$$\frac{-1}{1}=\frac{\lambda\,2x}{-\lambda\,2y}\implies x=y$$Diese notwendige Bedingung für ein Extremum führt jedoch dazu, dass \(g(x;y)=0\) anstatt \(=1\) ist. Daher gibt es hier tatsächlich keinen Kandidaten und damit auch keine Lösung.

Answer 2

Ohne Lagrange:

Um die (naheliegende) dritte binomische Formel anwenden zu können, erweitert man den gegebenen Funktionsterm mit (-x-y).

Aus f(x)=\( \frac{(-x+y)(-x-y)}{-x-y}=\frac{(x^2-y^2)}{-x-y} \) wird durch Anwendung der Nebenbedingung x²-y²=1 das überschaubare \(-\frac{1}{x+y}\), welches (erkennbar?) keine Extremstellen besitzt.