Ist die Abbildung nicht linear?

Question

Aufgabe: Ist die Abbildung linear?

Problem/Ansatz:

f : R⁴  ->  R³  , f (x, y, z, t) = (exp (x), y t, sin (z))

Answer 1

Nein, du kannst sicherlich recht schnell erkennen, dass hierfür jede der Teilfunktionen \(\exp(x), yt, \sin(z)\) linear sein müsste, was aber für \(\exp(x)\) und \(\sin(x)\) nicht der Fall ist. Ein konkretes Gegenbeispiel wären die Vektoren \((0, 0, 0, 0)^{\mathsf{T}}\) und \((1, 1, 1, 1)^{\mathsf{T}}\), probier es doch mal aus und kommentiere, welche Eigenschaft(en) einer linearen Abbildung für diese beiden Vektoren scheitert/scheitern.

[spoiler]

Eine lineare Abbildung \( L: V \rightarrow W \) zwischen zwei Vektorräumen \( V \) und \( W \) über \( \mathbb{R} \) ist charakterisiert durch folgende Eigenschaften:

1. \( L\left(0_{V}\right)=0_{W} \)
2. \( L(a+b)=L(a)+L(b), \quad a, b \in V \)
3. \( L(\alpha v)=\alpha L(v), \quad v \in V, \;\alpha \in \mathbb{R} \)

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Answer 2

Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den

Nullvektor der rechten Seite ab. Hier aber ist

\(f(0,0,0,0)=(exp(0),0\cdot 0,\sin(0))=(1,0,0)\neq (0,0,0)\)

Answer 3

Aloha :)

Eine lineare Abbildung \(f\) ist additiv und homogen, das heißt:$$f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\qquad\,\text{(additiv)}$$$$f(\text{const}\cdot \vec x)=\text{const}\cdot f(\vec x)\quad\text{(homogen)}$$Aus der Additivität folgt eine weitere wichtige Eigenschaft:$$f(\vec0)=f(\vec0+\vec0)=f(\vec0)+f(\vec0)=2\cdot f(\vec0)\quad\stackrel{-f(\vec0)}{\implies}\quad f(\vec0)=\vec0$$

Das heißt, jede lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab!

Diese Eigenschaft solltest du immer(!) zuerst prüfen, wenn du entscheiden sollst, ob eine Abblildung linear ist oder nicht. Hier gilt:$$f(\vec 0)=f(0;0;0;0)=(e^0,0\cdot0,\sin(0))=(1;0;0)\ne\vec 0$$Also ist die Abbildung nicht linear.