Fläche umwandeln für Integralrechnung

Question

Es sei \( S \subset \mathbb{R}^{3} \) die Fläche gegeben durch
\( S:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1, z \geq 0\right\} \)
Bestimmen Sie \( B \subset \mathbb{R}^{2} \) und \( f: B \rightarrow \mathbb{R} \) derart, dass sich \( S \) als Graph der Funktion \( f \) schreiben lässt.

Answer 1

\(z+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1 \)

<=>  \(z = 1- \frac{x^{2}}{4}- \frac{y^{2}}{4}\)

Damit z≥0 gilt muss \(  \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4} \le 1 \) gelten

bzw  \(  x^{2}   +  y^{2} \le 4 \)

Also ist \(B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4} \le 1 \right\} \)

also das Innere (und der Rand)  des  Kreises um (0;0)  mit Radius 2.

Und es ist f gegeben durch \( f(x,y)  = 1- \frac{x^{2}}{4}- \frac{y^{2}}{4}\)

Comments

Noch eine Frage zur aufestellten Menge...Du sagst, dass

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}\leq1 $$

bzw.

$$x^2+y^2\leq4$$

warum ist dann in deiner Menge B

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}\leq4 $$

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Das war vertippt, da muss rechts ne 1 hin, korrigiere ich gleich.