Funktion auf Extrem- und Nullstellen überprüfen

Question

Aufgabe:

Funktion f(x)= ln(9a²+1+x²)

mit konstantem Parameter a>0, bestimme Nullstellen, lokale Minima und lokale Maxima in Ahängikeit von a, sofern sie existieren. Begründe andernsfalls weshalb sie nicht existieren.
Problem/Ansatz:

Nullstelle

ln(9a²+1+x²)=0

9a²+1+x²=1      MINUS EINS

9a²+x²=0

Ich hab begründet es gibt keine NST, weil a nicht 0 werden kann?

Ableitung von f(x) = 1/9a²+1+x² * 2x+9a²

Meine Frage ist: wie ist die ableitung von 9a²? Und gibt es Extrempunkte?

Answer 1

Ableitung von 9a^2 ist 0, denn das ist ja konstant.

Hier also f'(x) = 2x / ( x^2 + 9a^2 + 1 )

Das ist 0 nur für x=0. Und die 2. Ableitung

f ' ' (0) = 2 / ( 9a^2 + 1 ) > 0 also Min. bei x=0.

Comments

Ok dankeschön!!

Und stimmt meine Argumentation dass diese Funktion keine nullstelle besitzt?

---

Ja, es müsste zu x^2 = -9a^2 sein, aber -9a^2 ist für alle a>0 negativ.

---

Dankeschön!!

Answer 2

Funktion f(x)= ln(9a^2+1+x^2)

mit konstantem Parameter a>0, bestimme Nullstellen,
lokale Minima und lokale Maxima in Ahängikeit von a,
sofern sie existieren. Begründe andernfalls weshalb
sie nicht existieren.

Problem/Ansatz:

Nullstelle
ln(9a^2+1+x^2)=0
9a^2+1+x^2=1   |   MINUS EINS
9a^2+x^2=0
x^2 = -9*a^2
x^2 ist stets ≥ 0
Gibt also nichts

f ´( x ) = 2*x / (9*a^2 + x^2 + 1)
2*x / (9*a^2 + x^2 + 1) = 0
Zähler = 0
2 * x = 0
x = 0

Jetzt muß noch geklärt werden ob
Hoch - oder Tiefpunkt.

Bei Fragen wieder melden.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

---

Gern geschehen.

Answer 3

Ich hab begründet es gibt keine NST, weil a nicht 0 werden kann?

9\( a^{2} \) +\( x^{2} \) =0

\( x^{2} \) =-9\( a^{2} \)   |\( \sqrt{} \)

x₁=\( \sqrt{-9a^2} \)

x₂=-\( \sqrt{-9a^2} \)

Da a im Quadrat vorkommt, bleibt der Term unter der Wurzel immer negativ.

Ausnahme a=0  

x=\( \sqrt{-9*0} \)=\( \sqrt{0} \)=0

Die einzigste Nullstelle liegt somit bei x=0 mit a=0

Da aber a>0 ist gibt es keine Nullstelle in ℝ.

Comments

Vielen Dank!